Theorem fsumsplitf 15687

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 15686 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplitf.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
2		nfcsb1v 3918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
3		csbeq1a 3907	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
4	1, 2, 3	cbvsumi 15642	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
6		fsumsplitf.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
7		fsumsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
8		fsumsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
9		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
11	9, 10	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
12	2	nfel1 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
13	11, 12	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
14		eleq1w 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
15	14	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
16	3	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
18		fsumsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	13, 17, 18	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
20	6, 7, 8, 19	fsumsplit 15686	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
21		csbeq1a 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
22		csbcow 3908	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐶
23		csbid 3906	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶
24	22, 23	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶
25	21, 24	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
26	2, 1, 25	cbvsumi 15642	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
27	2, 1, 25	cbvsumi 15642	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
28	26, 27	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
30	5, 20, 29	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3893   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107   + caddc 11112  Σcsu 15631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  15689