MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitf 15778
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 15777 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph 𝑘𝜑
fsumsplitf.ab (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3913 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
2 nfcv 2905 . . . 4 𝑗𝐶
3 nfcsb1v 3923 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
41, 2, 3cbvsum 15731 . . 3 Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
54a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
6 fsumsplitf.ab . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
7 fsumsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
8 fsumsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
9 fsumsplitf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
10 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
119, 10nfan 1899 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
123nfel1 2922 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1311, 12nfim 1896 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
14 eleq1w 2824 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1514anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
161eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1715, 16imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
18 fsumsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1913, 17, 18chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
206, 7, 8, 19fsumsplit 15777 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
21 csbeq1a 3913 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶)
22 csbcow 3914 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑘𝐶
23 csbid 3912 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2422, 23eqtri 2765 . . . . . 6 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2521, 24eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
2625, 3, 2cbvsum 15731 . . . 4 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
2725, 3, 2cbvsum 15731 . . . 4 Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
2826, 27oveq12i 7443 . . 3 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
305, 20, 293eqtrd 2781 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  csb 3899  cun 3949  cin 3950  c0 4333  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153   + caddc 11158  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  15780
  Copyright terms: Public domain W3C validator