MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitf 15090
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 15089 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph 𝑘𝜑
fsumsplitf.ab (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2981 . . . 4 𝑗𝐶
2 nfcsb1v 3910 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
3 csbeq1a 3900 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
41, 2, 3cbvsumi 15046 . . 3 Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
54a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
6 fsumsplitf.ab . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
7 fsumsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
8 fsumsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
9 fsumsplitf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
10 nfv 1908 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
119, 10nfan 1893 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
122nfel1 2998 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1311, 12nfim 1890 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
14 eleq1w 2899 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1514anbi2d 628 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
163eleq1d 2901 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1715, 16imbi12d 346 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
18 fsumsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1913, 17, 18chvarfv 2233 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
206, 7, 8, 19fsumsplit 15089 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
21 csbeq1a 3900 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶)
22 csbcow 3901 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑘𝐶
23 csbid 3899 . . . . . . 7 𝑘 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2422, 23eqtri 2848 . . . . . 6 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2521, 24syl6eq 2876 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
262, 1, 25cbvsumi 15046 . . . 4 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
272, 1, 25cbvsumi 15046 . . . 4 Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
2826, 27oveq12i 7163 . . 3 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
305, 20, 293eqtrd 2864 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2106  csb 3886  cun 3937  cin 3938  c0 4294  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cc 10527   + caddc 10532  Σcsu 15035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator