Theorem fsumshftd 38931

Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 15687. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 15687. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumshftd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = (𝑘 − 𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshftd	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3865	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → 𝐴 = ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴)
2		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝐴
3		nfcsb1v 3875	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15602	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴
5		fsumshftd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6		fsumshftd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		fsumshftd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3	nfel1 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
10	8, 9	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
11		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	11	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
13	1	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
14	12, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)))
15		fsumshftd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	10, 14, 15	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
17		csbeq1 3854	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 − 𝐾) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
18	5, 6, 7, 16, 17	fsumshft 15687	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
19		ovexd 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 𝐾) ∈ V)
20		fsumshftd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = (𝑘 − 𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
21	19, 20	csbied 3887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
22	21	sumeq2sdv 15610	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
23	18, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
24	4, 23	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⦋csb 3851  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   + caddc 11012   − cmin 11347  ℤcz 12471  ...cfz 13410  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by: (None)