Theorem fsumshftd 39398

Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 15742. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 15742. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumshftd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = (𝑘 − 𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshftd	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3851	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → 𝐴 = ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴)
2		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝐴
3		nfcsb1v 3861	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15657	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴
5		fsumshftd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6		fsumshftd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		fsumshftd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3	nfel1 2915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
10	8, 9	nfim 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
11		eleq1w 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	11	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
13	1	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
14	12, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)))
15		fsumshftd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	10, 14, 15	chvarfv 2248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
17		csbeq1 3840	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 − 𝐾) → ⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
18	5, 6, 7, 16, 17	fsumshft 15742	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
19		ovexd 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 − 𝐾) ∈ V)
20		fsumshftd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = (𝑘 − 𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
21	19, 20	csbied 3873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
22	21	sumeq2sdv 15665	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))⦋(𝑘 − 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
23	18, 22	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑤 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
24	4, 23	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ⦋csb 3837  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377  ℤcz 12524  ...cfz 13461  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by: (None)