Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumshftd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftd 34729
Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 14730. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 14730. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumshftd.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftd (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2948 . . 3 𝑤𝐴
2 nfcsb1v 3744 . . 3 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3737 . . 3 (𝑗 = 𝑤𝐴 = 𝑤 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14646 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴
5 fsumshftd.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6 fsumshftd.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fsumshftd.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 nfv 2005 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
92nfel1 2963 . . . . . 6 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
108, 9nfim 1987 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
11 eleq1w 2868 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 616 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
133eleq1d 2870 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1412, 13imbi12d 335 . . . . 5 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)))
15 fsumshftd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1610, 14, 15chvar 2436 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
17 csbeq1 3731 . . . 4 (𝑤 = (𝑘𝐾) → 𝑤 / 𝑗𝐴 = (𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
185, 6, 7, 16, 17fsumshft 14730 . . 3 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
19 ovexd 6904 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐾) ∈ V)
20 fsumshftd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
2119, 20csbied 3755 . . . 4 (𝜑(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
2221sumeq2sdv 14654 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
2318, 22eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
244, 23syl5eq 2852 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  csb 3728  (class class class)co 6870  cc 10215   + caddc 10220  cmin 10547  cz 11639  ...cfz 12545  Σcsu 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator