MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyd 25716
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elplyd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
elplyd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
elplyd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
elplyd (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ด   ๐‘ง,๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem elplyd
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 6903 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—)
2 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜ ยท
3 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜(๐‘งโ†‘๐‘—)
41, 2, 3nfov 7439 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—))
5 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘—(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))
6 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜))
7 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘—) = (๐‘งโ†‘๐‘˜))
86, 7oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—)) = (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
94, 5, 8cbvsumi 15643 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))
10 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
11 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0) = ๐ด)
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0) = ๐ด)
13 elplyd.3 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
1412, 13eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0) โˆˆ ๐‘†)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))
1615fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))
1710, 14, 16syl2an2 685 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))
1817, 12eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) = ๐ด)
1918oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
2019sumeq2dv 15649 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
219, 20eqtrid 2785 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
2221mpteq2dv 5251 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
23 elplyd.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
24 0cnd 11207 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
2524snssd 4813 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
2623, 25unssd 4187 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚)
27 elplyd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
28 elun1 4177 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
2913, 28syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
3029adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
31 ssun2 4174 . . . . . . . 8 {0} โŠ† (๐‘† โˆช {0})
32 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ V
3332snss 4790 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ (๐‘† โˆช {0}) โ†” {0} โŠ† (๐‘† โˆช {0}))
3431, 33mpbir 230 . . . . . . 7 0 โˆˆ (๐‘† โˆช {0})
3534a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 0 โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
3630, 35ifclda 4564 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0) โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
3736fmpttd 7115 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0)):โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}))
38 elplyr 25715 . . . 4 (((๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0)):โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0})) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—))) โˆˆ (Polyโ€˜(๐‘† โˆช {0})))
3926, 27, 37, 38syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ๐ด, 0))โ€˜๐‘—) ยท (๐‘งโ†‘๐‘—))) โˆˆ (Polyโ€˜(๐‘† โˆช {0})))
4022, 39eqeltrrd 2835 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜(๐‘† โˆช {0})))
41 plyun0 25711 . 2 (Polyโ€˜(๐‘† โˆช {0})) = (Polyโ€˜๐‘†)
4240, 41eleqtrdi 2844 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632  Polycply 25698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-ply 25702
This theorem is referenced by:  ply1term  25718  plyaddlem  25729  plymullem  25730  plycj  25791  dvply2g  25798  elqaalem3  25834  aareccl  25839  taylply2  25880  basellem2  26586  aacllem  47848
  Copyright terms: Public domain W3C validator