MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyd 26256
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elplyd.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
elplyd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
elplyd.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
elplyd (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem elplyd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘))
2 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑧𝑗) = (𝑧𝑘))
31, 2oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4 nffvmpt1 6918 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗)
5 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘 ·
6 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑗)
74, 5, 6nfov 7461 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))
8 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑗(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
93, 7, 8cbvsum 15728 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
10 elfznn0 13657 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 iftrue 4537 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
13 elplyd.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
1412, 13eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆)
15 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1615fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1710, 14, 16syl2an2 686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1817, 12eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
1918oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
2019sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
219, 20eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
2221mpteq2dv 5250 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
23 elplyd.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
24 0cnd 11252 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2524snssd 4814 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2623, 25unssd 4202 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
27 elplyd.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
28 elun1 4192 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2913, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3029adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
31 ssun2 4189 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
32 c0ex 11253 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3332snss 4790 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
3431, 33mpbir 231 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
3534a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3630, 35ifclda 4566 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3736fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
38 elplyr 26255 . . . 4 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
3926, 27, 37, 38syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4022, 39eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41 plyun0 26251 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4240, 41eleqtrdi 2849 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  0cn0 12524  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  Polycply 26238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sum 15720  df-ply 26242
This theorem is referenced by:  ply1term  26258  plyaddlem  26269  plymullem  26270  plycj  26332  plycjOLD  26334  dvply2g  26341  dvply2gOLD  26342  elqaalem3  26378  aareccl  26383  taylply2  26424  taylply2OLD  26425  basellem2  27140  aacllem  49032
  Copyright terms: Public domain W3C validator