Theorem elplyd 26520

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
elplyd.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
elplyd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
elplyd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elplyd	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem elplyd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘))
2		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑧↑𝑗) = (𝑧↑𝑘))
3	1, 2	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		nffvmpt1 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗)
5		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
6		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧↑𝑗)
7	4, 5, 6	nfov 7450	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗))
8		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))
9	3, 7, 8	cbvsum 15862	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))
10		elfznn0 13754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		iftrue 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
13		elplyd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	12, 13	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
16	15	fvmpt2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
17	10, 14, 16	syl2an2 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
18	17, 12	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
20	19	sumeq2dv 15869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
21	9, 20	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
22	21	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
23		elplyd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
24		0cnd 11299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
25	24	snssd 4746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
26	23, 25	unssd 4190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
27		elplyd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		elun1 4180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
29	13, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
30	29	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
31		ssun2 4177	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
32		c0ex 11300	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
33	32	snss 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
34	31, 33	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
36	30, 35	ifclda 4517	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
37	36	fmpttd 7115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
38		elplyr 26519	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
39	26, 27, 37, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧↑𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
40	22, 39	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
41		plyun0 26515	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
42	40, 41	eleqtrdi 2870	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ifcif 4481  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   · cmul 11205  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  Σcsu 15853  Polycply 26502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sum 15854  df-ply 26506

This theorem is used by:  ply1term  26522  plyaddlem  26534  plymullem  26535  plycj  26596  dvply2g  26606  elqaalem3  26644  aareccl  26653  taylply2  26695  basellem2  27409  aacllem  50939