Theorem fsummmodsndifre 48273

Description: A finite sum of summands modulo a positive number with one of its summands removed is a real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsummmodsndifre	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummmodsndifre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3861	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁))
2		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 mod 𝑁)
3		nfcsb1v 3871	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
4	1, 2, 3	cbvsum 15785	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
5		diffi 9172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
6	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
7		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		rspcsbela 4396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
10	9	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
11	10	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
12	11	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
13		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		csbov1g 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
16		zre 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
18		nnrp 13057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
20	17, 19	modcld 13939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
21	15, 20	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
22	21	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
23	22	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
25	12, 24	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
26	6, 25	fsumrecl 15823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
27	4, 26	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896  {csn 4584  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  ℝcr 11126  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13045   mod cmo 13933  Σcsu 15776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777

This theorem is used by: (None)