Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsndifre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummmodsndifre 42386
 Description: A finite sum of summands modulo a positive number with one of its summands removed is a real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsndifre ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummmodsndifre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2934 . . 3 𝑥(𝐵 mod 𝑁)
2 nfcsb1v 3767 . . 3 𝑘𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
3 csbeq1a 3760 . . 3 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁))
41, 2, 3cbvsumi 14839 . 2 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
5 diffi 8482 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
653ad2ant1 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
7 eldifi 3955 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝐴)
8 rspcsbela 4232 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
97, 8sylan 575 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
109expcom 404 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
11103ad2ant3 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1211imp 397 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
13 vex 3401 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
14 csbov1g 6968 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)
16 zre 11736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
1716adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
18 nnrp 12154 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1918adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
2017, 19modcld 12997 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 20syl5eqel 2863 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2221ex 403 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
23223ad2ant2 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
2423adantr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
2512, 24mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
266, 25fsumrecl 14876 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
274, 26syl5eqel 2863 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398  ⦋csb 3751   ∖ cdif 3789  {csn 4398  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  ℝcr 10273  ℕcn 11378  ℤcz 11732  ℝ+crp 12141   mod cmo 12991  Σcsu 14828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator