Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsndifre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummmodsndifre 47361
Description: A finite sum of summands modulo a positive number with one of its summands removed is a real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsndifre ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummmodsndifre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3913 . . 3 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁))
2 nfcv 2905 . . 3 𝑥(𝐵 mod 𝑁)
3 nfcsb1v 3923 . . 3 𝑘𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
41, 2, 3cbvsum 15731 . 2 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
5 diffi 9215 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
7 eldifi 4131 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝐴)
8 rspcsbela 4438 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
97, 8sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
109expcom 413 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
11103ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1211imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
13 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
14 csbov1g 7478 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)
16 zre 12617 . . . . . . . . . 10 (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
18 nnrp 13046 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
2017, 19modcld 13915 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2115, 20eqeltrid 2845 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2221ex 412 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
23223ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
2423adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ))
2512, 24mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
266, 25fsumrecl 15770 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
274, 26eqeltrid 2845 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  csb 3899  cdif 3948  {csn 4626  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  cn 12266  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator