Theorem sumsnf 15699

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 15702 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
sumsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3852	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
2		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3862	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15651	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3841	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 6817	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 12551	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13514	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 6764	. . . . . 6 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3842	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnf.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26	18, 25	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	22	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
28		elfz1eq 13483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
29	28	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30		fvsng 7129	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
31	6, 8, 30	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	29, 31	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
33	32	csbeq1d 3842	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
34	28	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 7129	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 35, 36	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	34, 37	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum 15676	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
41	4, 40	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
42	11, 37	seq1i 13971	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
43	41, 42	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ⦋csb 3838  {csn 4568  ⟨cop 4574  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  1c1 11033   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℤcz 12518  ...cfz 13455  seqcseq 13957  Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  15700  sumsn  15702