MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsnf 15685
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 15688 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnf.1 𝑘𝐵
sumsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3917 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3906 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 15639 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3895 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 12219 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀𝑉)
9 f1osng 6871 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 12588 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 13539 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6819 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 233 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4644 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3896 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnf.1 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 sumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3926 . . . . . . 7 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2618, 25eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2722ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
28 elfz1eq 13508 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
2928fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30 fvsng 7174 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
316, 8, 30sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3229, 31sylan9eqr 2794 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3332csbeq1d 3896 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3428fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 7174 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3834, 37sylan9eqr 2794 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3927, 33, 383eqtr4rd 2783 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 26, 39fsum 15662 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
414, 40eqtrid 2784 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4211, 37seq1i 13976 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4341, 42eqtrd 2772 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2883  csb 3892  {csn 4627  cop 4633  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109  cn 12208  cz 12554  ...cfz 13480  seqcseq 13962  Σcsu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  15686  sumsn  15688
  Copyright terms: Public domain W3C validator