Theorem sumss2 15742

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sumss2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		iftrue 4506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
4		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
5	4	nfel1 2915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
7	6	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
9	8	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10	3, 9	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
11	10	ad4ant24 754	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
12		eldifn 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 4511	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	1, 11, 14, 15	sumss 15740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
17		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	10	ad4ant24 754	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
19	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
21	17, 18, 19, 20	fsumss 15741	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
22	16, 21	jaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
23		iftrue 4506	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
24	23	sumeq2i 15714	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
25		eleq1w 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
26	25, 6	ifbieq1d 4525	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
27		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
28		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
29		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 4, 29	nfif 4531	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
31	26, 27, 30	cbvsum 15711	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
32	24, 31	eqtr3i 2760	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
33	26, 27, 30	cbvsum 15711	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
34	22, 32, 33	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ⦋csb 3874   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ifcif 4500  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  ℂcc 11127  0cc0 11129  ℤ_≥cuz 12852  Σcsu 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703

This theorem is referenced by:  fsumsplit  15757  sumsplit  15784  isumless  15861  rpnnen2lem11  16242  sumhash  16916  prmrec  16942  plyeq0lem  26167  prmorcht  27140  musumsum  27154  pclogsum  27178  dchrhash  27234  rpvmasum2  27475  pntlemj  27566  plymulx0  34579  hashreprin  34652  circlemeth  34672