MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumss2 15669
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumss2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sumss2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
32adantl 483 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
4 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
54nfel1 2920 . . . . . . . 8 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
6 csbeq1a 3907 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
76eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
85, 7rspc 3601 . . . . . . 7 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
98impcom 409 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
103, 9eqeltrd 2834 . . . . 5 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1110ad4ant24 753 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
12 eldifn 4127 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1312iffalsed 4539 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1413adantl 483 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
15 simpr 486 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
161, 11, 14, 15sumss 15667 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
17 simpll 766 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
1810ad4ant24 753 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
1913adantl 483 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
20 simpr 486 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
2117, 18, 19, 20fsumss 15668 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
2216, 21jaodan 957 . 2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
23 iftrue 4534 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2423sumeq2i 15642 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
25 nfcv 2904 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
26 nfv 1918 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
27 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘0
2826, 4, 27nfif 4558 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
29 eleq1w 2817 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
3029, 6ifbieq1d 4552 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3125, 28, 30cbvsumi 15640 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3224, 31eqtr3i 2763 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3325, 28, 30cbvsumi 15640 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3422, 32, 333eqtr4g 2798 1 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  csb 3893  cdif 3945  wss 3948  ifcif 4528  cfv 6541  Fincfn 8936  cc 11105  0cc0 11107  cuz 12819  Σcsu 15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630
This theorem is referenced by:  fsumsplit  15684  sumsplit  15711  isumless  15788  rpnnen2lem11  16164  sumhash  16826  prmrec  16852  plyeq0lem  25716  prmorcht  26672  musumsum  26686  pclogsum  26708  dchrhash  26764  rpvmasum2  27005  pntlemj  27096  plymulx0  33547  hashreprin  33621  circlemeth  33641
  Copyright terms: Public domain W3C validator