MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumss2 14674
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumss2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sumss2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 774 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
2 simplr 776 . . . . 5 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
3 iftrue 4279 . . . . . . 7 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
43adantl 469 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5 nfcsb1v 3738 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
65nfel1 2959 . . . . . . . 8 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
7 csbeq1a 3731 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
87eleq1d 2866 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
96, 8rspc 3492 . . . . . . 7 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
109impcom 396 . . . . . 6 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
114, 10eqeltrd 2881 . . . . 5 ((∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
122, 11sylan 571 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
13 eldifn 3926 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑚𝐴)
1413iffalsed 4284 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
1514adantl 469 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
16 simpr 473 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
171, 12, 15, 16sumss 14672 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
18 simpll 774 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
19 simplr 776 . . . . 5 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
2019, 11sylan 571 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) ∈ ℂ)
2114adantl 469 . . . 4 ((((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = 0)
22 simpr 473 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
2318, 20, 21, 22fsumss 14673 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
2417, 23jaodan 971 . 2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
25 iftrue 4279 . . . 4 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2625sumeq2i 14646 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘𝐴 𝐶
27 nfcv 2944 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)
28 nfv 2005 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
29 nfcv 2944 . . . . 5 𝑘0
3028, 5, 29nfif 4302 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
31 eleq1w 2864 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
3231, 7ifbieq1d 4296 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0))
3327, 30, 32cbvsumi 14644 . . 3 Σ𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3426, 33eqtr3i 2826 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑚𝐴 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3527, 30, 32cbvsumi 14644 . 2 Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚𝐵 if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐶, 0)
3624, 34, 353eqtr4g 2861 1 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2155  wral 3092  csb 3722  cdif 3760  wss 3763  ifcif 4273  cfv 6095  Fincfn 8186  cc 10213  0cc0 10215  cuz 11898  Σcsu 14633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-sup 8581  df-oi 8648  df-card 9042  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-rp 12041  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-sum 14634
This theorem is referenced by:  fsumsplit  14688  sumsplit  14716  isumless  14793  rpnnen2lem11  15167  sumhash  15811  prmrec  15837  plyeq0lem  24174  prmorcht  25112  musumsum  25126  pclogsum  25148  dchrhash  25204  rpvmasum2  25409  pntlemj  25500  plymulx0  30943  hashreprin  31017  circlemeth  31037
  Copyright terms: Public domain W3C validator