Theorem sumss2 15774

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sumss2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		iftrue 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
4		nfcsb1v 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
5	4	nfel1 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
7	6	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
9	8	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10	3, 9	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
11	10	ad4ant24 753	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
12		eldifn 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 4559	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	1, 11, 14, 15	sumss 15772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
17		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	10	ad4ant24 753	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
19	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
21	17, 18, 19, 20	fsumss 15773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
22	16, 21	jaodan 958	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
23		iftrue 4554	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
24	23	sumeq2i 15746	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
25		eleq1w 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
26	25, 6	ifbieq1d 4572	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
27		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
28		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
29		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 4, 29	nfif 4578	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
31	26, 27, 30	cbvsum 15743	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
32	24, 31	eqtr3i 2770	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
33	26, 27, 30	cbvsum 15743	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
34	22, 32, 33	3eqtr4g 2805	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ⦋csb 3921   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  ℂcc 11182  0cc0 11184  ℤ_≥cuz 12903  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  fsumsplit  15789  sumsplit  15816  isumless  15893  rpnnen2lem11  16272  sumhash  16943  prmrec  16969  plyeq0lem  26269  prmorcht  27239  musumsum  27253  pclogsum  27277  dchrhash  27333  rpvmasum2  27574  pntlemj  27665  plymulx0  34524  hashreprin  34597  circlemeth  34617