Theorem sumss2 15812

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sumss2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		iftrue 4488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
4		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
5	4	nfel1 2938	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
7	6	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
9	8	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10	3, 9	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
11	10	ad4ant24 767	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
12		eldifn 4079	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
13	12	iffalsed 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	1, 11, 14, 15	sumss 15810	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
17		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	10	ad4ant24 767	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) ∈ ℂ)
19	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = 0)
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
21	17, 18, 19, 20	fsumss 15811	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
22	16, 21	jaodan 972	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
23		iftrue 4488	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
24	23	sumeq2i 15785	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
25		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
26	25, 6	ifbieq1d 4507	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0))
27		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)
28		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
29		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 4, 29	nfif 4513	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
31	26, 27, 30	cbvsum 15782	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
32	24, 31	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑚 ∈ 𝐴 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
33	26, 27, 30	cbvsum 15782	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = Σ𝑚 ∈ 𝐵 if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 0)
34	22, 32, 33	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  ‘cfv 6533  Fincfn 8952  ℂcc 11122  0cc0 11124  ℤ_≥cuz 12887  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774

This theorem is used by:  fsumsplit  15827  sumsplit  15854  isumless  15934  rpnnen2lem11  16312  sumhash  16988  prmrec  17014  plyeq0lem  26436  plyn0mulidp  26511  prmorcht  27414  musumsum  27428  pclogsum  27451  dchrhash  27507  rpvmasum2  27748  pntlemj  27839  hashreprin  35128  circlemeth  35148