Theorem fourierdlem115 43652

Description: Fourier serier convergence, for piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem115.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem115.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem115.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem115.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem115.dmdv	⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem115.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fourierdlem115.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem115.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem115.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem115.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem115	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem115

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem115.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem115.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fourierdlem115.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fourierdlem115.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5		fourierdlem115.dmdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fourierdlem115.dvcn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fourierdlem115.rlim	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fourierdlem115.llim	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fourierdlem115.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		fourierdlem115.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
11		fourierdlem115.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
12		fourierdlem115.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑘 · 𝑥)))
15	14	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
17	16	itgeq2dv 24851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
18	17	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
19	18	cbvmptv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
20	12, 19	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21		fourierdlem115.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22	13	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑥)))
23	22	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
25	24	itgeq2dv 24851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
26	25	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
27	26	cbvmptv 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
28	21, 27	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29		fourierdlem115.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
32		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
33	32	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	cbvmptv 5183	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
38		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
39		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
40		isoeq1 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
41	40	cbviotavw 6384	. . . 4 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 41	fourierdlem114 43651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
43	42	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
44		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
45		nfmpt1 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
46	12, 45	nfcxfr 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
47		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
48	46, 47	nffv 6766	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
49		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
50		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
51	48, 49, 50	nfov 7285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
52		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 +
53		nfmpt1 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
54	21, 53	nfcxfr 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
55	54, 47	nffv 6766	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐵‘𝑘)
56		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
57	55, 49, 56	nfov 7285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
58	51, 52, 57	nfov 7285	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
59		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
60		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
61	60	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
62	59, 61	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
63		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
64	60	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
65	63, 64	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
66	62, 65	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
67	44, 58, 66	cbvsumi 15337	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
68	67	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
69	42	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
70	68, 69	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
71	43, 70	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  {ctp 4562   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  ℩cio 6374  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418   Isom wiso 6419  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  (,)cioo 13008  (,]cioc 13009  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ⌊cfl 13438  seqcseq 13649  ♯chash 13972   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325  sincsin 15701  cosccos 15702  πcpi 15704  –cn→ccncf 23945  ∫citg 24687   lim_ℂ climc 24931   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-t1 22373  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-ditg 24916  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  fourierd  43653  fourierclimd  43654