Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem115 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem115 41075
Description: Fourier serier convergence, for piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem115.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem115.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem115.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem115.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem115.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem115.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem115.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem115.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem115.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem115.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.s 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem115 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem115
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem115.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem115.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem115.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem115.g . . . 4 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourierdlem115.dmdv . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourierdlem115.dvcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourierdlem115.rlim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourierdlem115.llim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourierdlem115.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 fourierdlem115.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11 fourierdlem115.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12 fourierdlem115.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
1413fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑘 · 𝑥)))
1514oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1716itgeq2dv 23839 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
1817oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1918cbvmptv 4909 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2012, 19eqtri 2787 . . . 4 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21 fourierdlem115.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2213fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑥)))
2322oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2524itgeq2dv 23839 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
2625oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2726cbvmptv 4909 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2821, 27eqtri 2787 . . . 4 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29 fourierdlem115.s . . . 4 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
30 eqid 2765 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
31 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
32 oveq2 6850 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
3332oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
3433fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
3534oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3631, 35oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3736cbvmptv 4909 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
38 eqid 2765 . . . 4 ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
39 eqid 2765 . . . 4 ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
40 isoeq1 6759 . . . . 5 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
4140cbviotav 6037 . . . 4 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 41fourierdlem114 41074 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
4342simpld 488 . 2 (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
44 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
45 nfmpt1 4906 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
4612, 45nfcxfr 2905 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
47 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
4846, 47nffv 6385 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑘)
49 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛 ·
50 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
5148, 49, 50nfov 6872 . . . . . 6 𝑛((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
52 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑛 +
53 nfmpt1 4906 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
5421, 53nfcxfr 2905 . . . . . . . 8 𝑛𝐵
5554, 47nffv 6385 . . . . . . 7 𝑛(𝐵𝑘)
56 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
5755, 49, 56nfov 6872 . . . . . 6 𝑛((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
5851, 52, 57nfov 6872 . . . . 5 𝑛(((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
59 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
60 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
6160fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
6259, 61oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
63 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
6460fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
6563, 64oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6662, 65oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
6744, 58, 66cbvsumi 14712 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6867oveq2i 6853 . . 3 (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
6942simprd 489 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7068, 69syl5eq 2811 . 2 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7143, 70jca 507 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3729  cun 3730  c0 4079  {ctp 4338   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cres 5279  cio 6029  wf 6064  cfv 6068   Isom wiso 6069  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326   < clt 10328  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  (,)cioo 12377  (,]cioc 12378  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cfl 12799  seqcseq 13008  chash 13321  cli 14500  Σcsu 14701  sincsin 15076  cosccos 15077  πcpi 15079  cnccncf 22958  citg 23676   lim climc 23917   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-ditg 23902  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fourierd  41076  fourierclimd  41077
  Copyright terms: Public domain W3C validator