Theorem fourierdlem115 47339

Description: Fourier serier convergence, for piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem115.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem115.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem115.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem115.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
fourierdlem115.dmdv	⊢ (𝜑 → (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem115.dvcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
fourierdlem115.rlim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.llim	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem115.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
fourierdlem115.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
fourierdlem115.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem115	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑅(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑘, 𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem115

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem115.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem115.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
3		fourierdlem115.per	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
4		fourierdlem115.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
5		fourierdlem115.dmdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6		fourierdlem115.dvcn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
7		fourierdlem115.rlim	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
8		fourierdlem115.llim	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
9		fourierdlem115.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		fourierdlem115.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
11		fourierdlem115.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
12		fourierdlem115.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13		oveq1 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
14	13	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑘 · 𝑥)))
15	14	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
17	16	itgeq2dv 26111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
18	17	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
19	18	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
20	12, 19	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21		fourierdlem115.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22	13	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑥)))
23	22	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ ( -π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
25	24	itgeq2dv 26111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
26	25	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
27	26	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
28	21, 27	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29		fourierdlem115.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤‘𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤‘𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
31		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
32		oveq2 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
33	32	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	cbvmptv 5208	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
38		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))
39		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
40		isoeq1 7329	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
41	40	cbviotavw 6505	. . . 4 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({ -π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ (( -π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 41	fourierdlem114 47338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
43	42	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
44		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
45		oveq1 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
46	45	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
47	44, 46	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
48		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵‘𝑛) = (𝐵‘𝑘))
49	45	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
50	48, 49	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
51	47, 50	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
52		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
53		nfmpt1 5203	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
54	12, 53	nfcxfr 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
55		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
56	54, 55	nffv 6900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
57		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
58		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
59	56, 57, 58	nfov 7454	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
60		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 +
61		nfmpt1 5203	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
62	21, 61	nfcxfr 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
63	62, 55	nffv 6900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐵‘𝑘)
64		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
65	63, 57, 64	nfov 7454	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
66	59, 60, 65	nfov 7454	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
67	51, 52, 66	cbvsum 15871	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
68	67	oveq2i 7435	. . 3 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
69	42	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
70	68, 69	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
71	43, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {ctp 4588   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ℩cio 6495  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  Fincfn 8980  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348   < clt 11350   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  (,)cioo 13483  (,]cioc 13484  [,)cico 13485  [,]cicc 13486  ...cfz 13646  ..^cfzo 13795  ⌊cfl 13937  seqcseq 14151  ♯chash 14481   ⇝ cli 15660  Σcsu 15862  sincsin 16238  cosccos 16239  πcpi 16241  –cn→ccncf 25206  ∫citg 25948   lim_ℂ climc 26191   D cdv 26192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-symdif 4197  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-t1 23641  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-mbf 25949  df-itg1 25950  df-itg2 25951  df-ibl 25952  df-itg 25953  df-0p 26000  df-ditg 26176  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  fourierd  47340  fourierclimd  47341