Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem115 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem115 46241
Description: Fourier serier convergence, for piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem115.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem115.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem115.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem115.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem115.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem115.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem115.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem115.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem115.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem115.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.s 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem115 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem115
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem115.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem115.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem115.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem115.g . . . 4 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourierdlem115.dmdv . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourierdlem115.dvcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourierdlem115.rlim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourierdlem115.llim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourierdlem115.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 fourierdlem115.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11 fourierdlem115.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12 fourierdlem115.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
1413fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑘 · 𝑥)))
1514oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1716itgeq2dv 25818 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
1817oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1918cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2012, 19eqtri 2764 . . . 4 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21 fourierdlem115.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2213fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑥)))
2322oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2524itgeq2dv 25818 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
2625oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2726cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2821, 27eqtri 2764 . . . 4 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29 fourierdlem115.s . . . 4 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
30 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
31 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
32 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
3332oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
3433fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
3534oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3631, 35oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3736cbvmptv 5254 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
38 eqid 2736 . . . 4 ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
39 eqid 2736 . . . 4 ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
40 isoeq1 7338 . . . . 5 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
4140cbviotavw 6521 . . . 4 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 41fourierdlem114 46240 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
4342simpld 494 . 2 (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
44 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
45 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
4645fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
4744, 46oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
48 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
4945fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
5048, 49oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
5147, 50oveq12d 7450 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
52 nfcv 2904 . . . . 5 𝑘(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
53 nfmpt1 5249 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
5412, 53nfcxfr 2902 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
55 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
5654, 55nffv 6915 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑘)
57 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛 ·
58 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
5956, 57, 58nfov 7462 . . . . . 6 𝑛((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
60 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑛 +
61 nfmpt1 5249 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
6221, 61nfcxfr 2902 . . . . . . . 8 𝑛𝐵
6362, 55nffv 6915 . . . . . . 7 𝑛(𝐵𝑘)
64 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
6563, 57, 64nfov 7462 . . . . . 6 𝑛((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
6659, 60, 65nfov 7462 . . . . 5 𝑛(((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6751, 52, 66cbvsum 15732 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6867oveq2i 7443 . . 3 (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
6942simprd 495 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7068, 69eqtrid 2788 . 2 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7143, 70jca 511 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  cdif 3947  cun 3948  c0 4332  {ctp 4629   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cres 5686  cio 6511  wf 6556  cfv 6560   Isom wiso 6561  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294   < clt 11296  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,)cico 13390  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  cfl 13831  seqcseq 14043  chash 14370  cli 15521  Σcsu 15723  sincsin 16100  cosccos 16101  πcpi 16103  cnccncf 24903  citg 25654   lim climc 25898   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-t1 23323  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-ditg 25883  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  fourierd  46242  fourierclimd  46243
  Copyright terms: Public domain W3C validator