Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme23.v |
. 2
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) |
2 | | cdleme23.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdleme23.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β HL) |
5 | 4 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β Lat) |
6 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
7 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
8 | | cdleme23.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme23.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 2, 8, 9 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
11 | 4, 6, 7, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β π΅) |
12 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
13 | | simp11r 1286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π») |
14 | | cdleme23.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | 2, 14 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
16 | 13, 15 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
17 | | cdleme23.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
18 | 2, 17 | latmcl 18334 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
19 | 5, 12, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β π΅) |
20 | 2, 17 | latmcl 18334 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β π΅) |
21 | 5, 11, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β π΅) |
22 | 2, 3, 17 | latmle2 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β€ (π β§ π)) |
23 | 5, 11, 19, 22 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β€ (π β§ π)) |
24 | 2, 3, 17 | latmle2 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
25 | 5, 12, 16, 24 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β€ π) |
26 | 2, 3, 5, 21, 19, 16, 23, 25 | lattrd 18340 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β€ π) |
27 | 1, 26 | eqbrtrid 5141 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ π) |