Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme23a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme23a 39208
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 8-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme23.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme23.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme23.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme23.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme23.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme23.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
Assertion
Ref Expression
cdleme23a ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
Proof of Theorem cdleme23a
StepHypRef Expression
1 cdleme23.v . 2 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
2 cdleme23.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme23.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 simp11l 1284 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 38222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp12l 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
7 simp13l 1288 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
8 cdleme23.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdleme23.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 8, 9hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
114, 6, 7, 10syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
12 simp2l 1199 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp11r 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 cdleme23.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
152, 14lhpbase 38857 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
17 cdleme23.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
182, 17latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
195, 12, 16, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
202, 17latmcl 18389 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
215, 11, 19, 20syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
222, 3, 17latmle2 18414 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
235, 11, 19, 22syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Š))
242, 3, 17latmle2 18414 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
255, 12, 16, 24syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
262, 3, 5, 21, 19, 16, 23, 25lattrd 18395 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ π‘Š)
271, 26eqbrtrid 5182 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme28a  39229
  Copyright terms: Public domain W3C validator