Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme26.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdleme26.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37855 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β Lat) |
5 | | simp11r 1286 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π») |
6 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π) |
10 | | cdleme26.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme26.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme26.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme26.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme27.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdleme27.f |
. . . . 5
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
16 | | cdleme27.z |
. . . . 5
β’ π = ((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
17 | | cdleme27.n |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
18 | | cdleme27.d |
. . . . 5
β’ π· = (β©π’ β π΅ βπ§ β π΄ ((Β¬ π§ β€ π β§ Β¬ π§ β€ (π β¨ π)) β π’ = π)) |
19 | | cdleme27.c |
. . . . 5
β’ πΆ = if(π β€ (π β¨ π), π·, πΉ) |
20 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | cdleme27cl 38858 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π)) β πΆ β π΅) |
21 | 3, 5, 6, 7, 8, 9, 20 | syl222anc 1387 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β πΆ β π΅) |
22 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) |
23 | | cdleme27.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
24 | | cdleme27.o |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π‘ β¨ π§) β§ π))) |
25 | | cdleme27.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = (β©π’ β π΅ βπ§ β π΄ ((Β¬ π§ β€ π β§ Β¬ π§ β€ (π β¨ π)) β π’ = π)) |
26 | | cdleme27.y |
. . . . . 6
β’ π = if(π‘ β€ (π β¨ π), πΈ, πΊ) |
27 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 16, 24, 25, 26 | cdleme27cl 38858 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ π β π)) β π β π΅) |
28 | 3, 5, 6, 7, 22, 9,
27 | syl222anc 1387 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΅) |
29 | | simp11 1204 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
30 | 29, 8, 22 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π))) |
31 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
32 | | simp31 1210 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π‘) |
33 | | simp32l 1299 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
34 | | simp32r 1300 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) |
35 | 32, 33, 34 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π‘ β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π)) |
36 | | cdleme28a.v |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π‘) β§ (π β§ π)) |
37 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 36 | cdleme23b 38842 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π‘ β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
38 | 30, 31, 35, 37 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
39 | 1, 12 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΅) |
41 | 1, 10 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
42 | 4, 28, 40, 41 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π) β π΅) |
43 | | simp33l 1301 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΅) |
44 | 1, 13 | lhpbase 38490 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
45 | 5, 44 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΅) |
46 | 1, 11 | latmcl 18336 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
47 | 4, 43, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β§ π) β π΅) |
48 | 1, 10 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
49 | 4, 28, 47, 48 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
50 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 36 | cdleme23c 38843 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π‘ β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π‘ β¨ π)) |
51 | 30, 31, 35, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β€ (π‘ β¨ π)) |
52 | 32, 51 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π))) |
53 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 36 | cdleme23a 38841 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π‘ β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ π) |
54 | 30, 31, 35, 53 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β€ π) |
55 | 38, 54 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ π β€ π)) |
56 | 1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26 | cdleme27a 38859 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ ((π β π‘ β§ π β€ (π‘ β¨ π)) β§ (π β π΄ β§ π β€ π))) β πΆ β€ (π β¨ π)) |
57 | 29, 9, 8, 6, 7, 22,
52, 55, 56 | syl332anc 1402 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β πΆ β€ (π β¨ π)) |
58 | | simp22l 1293 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
59 | | simp23l 1295 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π‘ β π΄) |
60 | 1, 10, 12 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π‘ β π΄) β (π β¨ π‘) β π΅) |
61 | 3, 58, 59, 60 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π‘) β π΅) |
62 | 1, 2, 11 | latmle2 18361 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π‘) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β¨ π‘) β§ (π β§ π)) β€ (π β§ π)) |
63 | 4, 61, 47, 62 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ π‘) β§ (π β§ π)) β€ (π β§ π)) |
64 | 36, 63 | eqbrtrid 5145 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β π β€ (π β§ π)) |
65 | 1, 2, 10 | latjlej2 18350 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅)) β (π β€ (π β§ π) β (π β¨ π) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
66 | 4, 40, 47, 28, 65 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β€ (π β§ π) β (π β¨ π) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
67 | 64, 66 | mpd 15 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π) β€ (π β¨ (π β§ π))) |
68 | 1, 2, 4, 21, 42, 49, 57, 67 | lattrd 18342 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β πΆ β€ (π β¨ (π β§ π))) |
69 | 1, 2, 10 | latlej2 18345 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β (π β§ π) β€ (π β¨ (π β§ π))) |
70 | 4, 28, 47, 69 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β§ π) β€ (π β¨ (π β§ π))) |
71 | 1, 2, 10 | latjle12 18346 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΆ β π΅ β§ (π β§ π) β π΅ β§ (π β¨ (π β§ π)) β π΅)) β ((πΆ β€ (π β¨ (π β§ π)) β§ (π β§ π) β€ (π β¨ (π β§ π))) β (πΆ β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
72 | 4, 21, 47, 49, 71 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΆ β€ (π β¨ (π β§ π)) β§ (π β§ π) β€ (π β¨ (π β§ π))) β (πΆ β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
73 | 68, 70, 72 | mpbi2and 711 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π‘ β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π‘ β¨ (π β§ π)) = π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΆ β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π))) |