Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22g 38857
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115. 𝐹, 𝐺 represent f(s), f(t) respectively. If s ≀ t ∨ v and Β¬ s ≀ p ∨ q, then f(s) ≀ f(t) ∨ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme22.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme22.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme22.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme22.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme22g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme22g.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme22g.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22g ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22g
StepHypRef Expression
1 simp11l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37872 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp2l 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 simp2r 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
6 simp31 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
7 simp133 1311 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
8 simp132 1310 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
9 cdleme22.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme22.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme22.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme22.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 cdleme22g.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
15 cdleme22g.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme3fa 38745 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
173, 4, 5, 6, 7, 8, 16syl132anc 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
18 simp12 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
19 simp131 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
20 cdleme22g.g . . . . . . 7 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
219, 10, 11, 12, 13, 14, 20cdleme3fa 38745 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
223, 4, 5, 18, 7, 19, 21syl132anc 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
23 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 10, 12hlatjcl 37875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
251, 17, 22, 24syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simp11r 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2723, 13lhpbase 38507 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2923, 9, 11latmle1 18358 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) ≀ (𝐹 ∨ 𝐺))
302, 25, 28, 29syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) ≀ (𝐹 ∨ 𝐺))
31 simp33 1212 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
32 simp32 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)))
339, 10, 11, 12, 13cdleme22d 38852 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
343, 6, 18, 31, 32, 33syl131anc 1384 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
35 simp32l 1299 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
367, 35jca 513 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇))
379, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20cdleme16 38794 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š))
383, 4, 5, 6, 18, 36, 8, 19, 37syl332anc 1402 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š))
3934, 38eqtr2d 2774 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) = 𝑉)
4010, 12hlatjcom 37876 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝐹))
411, 17, 22, 40syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝐹))
4230, 39, 413brtr3d 5137 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹))
43 hlcvl 37867 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
441, 43syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
45 simp33l 1301 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
46 simp33r 1302 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
479, 10, 11, 12, 13, 14, 20cdleme3 38746 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š)
483, 4, 5, 18, 7, 19, 47syl132anc 1389 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š)
49 nbrne2 5126 . . . 4 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  𝐺)
5046, 48, 49syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 β‰  𝐺)
519, 10, 12cvlatexch1 37844 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 β‰  𝐺) β†’ (𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉)))
5244, 45, 17, 22, 50, 51syl131anc 1384 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉)))
5342, 52mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdleme27a  38876
  Copyright terms: Public domain W3C validator