Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22g 39877
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115. 𝐹, 𝐺 represent f(s), f(t) respectively. If s ≀ t ∨ v and Β¬ s ≀ p ∨ q, then f(s) ≀ f(t) ∨ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme22.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme22.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme22.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme22.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme22g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme22g.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme22g.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22g ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22g
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38892 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 simp2r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
6 simp31 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
7 simp133 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
8 simp132 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
9 cdleme22.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme22.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme22.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme22.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 cdleme22g.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
15 cdleme22g.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme3fa 39765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
173, 4, 5, 6, 7, 8, 16syl132anc 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
18 simp12 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
19 simp131 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
20 cdleme22g.g . . . . . . 7 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
219, 10, 11, 12, 13, 14, 20cdleme3fa 39765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
223, 4, 5, 18, 7, 19, 21syl132anc 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
23 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 10, 12hlatjcl 38895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
251, 17, 22, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simp11r 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2723, 13lhpbase 39527 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2923, 9, 11latmle1 18455 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) ≀ (𝐹 ∨ 𝐺))
302, 25, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) ≀ (𝐹 ∨ 𝐺))
31 simp33 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
32 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)))
339, 10, 11, 12, 13cdleme22d 39872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
343, 6, 18, 31, 32, 33syl131anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
35 simp32l 1295 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
367, 35jca 510 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇))
379, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20cdleme16 39814 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š))
383, 4, 5, 6, 18, 36, 8, 19, 37syl332anc 1398 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š))
3934, 38eqtr2d 2766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ π‘Š) = 𝑉)
4010, 12hlatjcom 38896 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝐹))
411, 17, 22, 40syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝐹))
4230, 39, 413brtr3d 5174 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹))
43 hlcvl 38887 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
441, 43syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
45 simp33l 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
46 simp33r 1298 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
479, 10, 11, 12, 13, 14, 20cdleme3 39766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š)
483, 4, 5, 18, 7, 19, 47syl132anc 1385 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š)
49 nbrne2 5163 . . . 4 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  𝐺)
5046, 48, 49syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 β‰  𝐺)
519, 10, 12cvlatexch1 38864 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 β‰  𝐺) β†’ (𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉)))
5244, 45, 17, 22, 50, 51syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑉 ≀ (𝐺 ∨ 𝐹) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉)))
5342, 52mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ≀ (𝐺 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  CvLatclc 38793  HLchlt 38878  LHypclh 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517
This theorem is referenced by:  cdleme27a  39896
  Copyright terms: Public domain W3C validator