Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme23.v |
. 2
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) |
2 | | simp11l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β HL) |
3 | | hlol 37852 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β OL) |
5 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
6 | | simp13l 1289 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
7 | | cdleme23.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | cdleme23.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme23.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 7, 8, 9 | hlatjcl 37858 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
11 | 2, 5, 6, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β π΅) |
12 | 2 | hllatd 37855 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β Lat) |
13 | | simp2l 1200 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
14 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π») |
15 | | cdleme23.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | 7, 15 | lhpbase 38490 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β π΅) |
17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
18 | | cdleme23.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
19 | 7, 18 | latmcl 18336 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
20 | 12, 13, 17, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β π΅) |
21 | 7, 8 | latjcl 18335 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β π΅) |
22 | 12, 11, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β π΅) |
23 | 7, 18 | latmassOLD 37720 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ ((π β¨ π) β π΅ β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β π΅ β§ π β π΅)) β (((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) β§ π) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β§ π))) |
24 | 4, 11, 22, 17, 23 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) β§ π) = ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β§ π))) |
25 | | cdleme23.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
26 | 7, 25, 8 | latlej1 18344 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) |
27 | 12, 11, 20, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) |
28 | 7, 25, 18 | latleeqm1 18363 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β π΅) β ((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β ((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) = (π β¨ π))) |
29 | 12, 11, 22, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β ((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) = (π β¨ π))) |
30 | 27, 29 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) = (π β¨ π)) |
31 | 30 | oveq1d 7377 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((π β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ (π β§ π))) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
32 | 7, 9 | atbase 37780 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
33 | 5, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
34 | 7, 9 | atbase 37780 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
35 | 6, 34 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
36 | 7, 8 | latjjdir 18388 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ (π β§ π)) β¨ (π β¨ (π β§ π)))) |
37 | 12, 33, 35, 20, 36 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) = ((π β¨ (π β§ π)) β¨ (π β¨ (π β§ π)))) |
38 | | simp32 1211 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
39 | | simp33 1212 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
40 | 38, 39 | oveq12d 7380 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ (π β¨ (π β§ π))) = (π β¨ π)) |
41 | 7, 8 | latjidm 18358 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (π β¨ π) = π) |
42 | 12, 13, 41 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) = π) |
43 | 37, 40, 42 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) = π) |
44 | 43 | oveq1d 7377 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β§ π) = (π β§ π)) |
45 | 44 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ (π β§ π)) β§ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β§ π))) |
46 | 24, 31, 45 | 3eqtr3d 2785 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ (π β§ π))) |
47 | | simp12r 1288 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β Β¬ π β€ π) |
48 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π) |
49 | 25, 8, 18, 9, 15 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
50 | 2, 14, 5, 47, 6, 48, 49 | syl222anc 1387 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
51 | 46, 50 | eqeltrrd 2839 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) β π΄) |
52 | 1, 51 | eqeltrid 2842 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |