Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme23b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme23b 39209
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 4th paragraph, 6th line on p. 115. (Contributed by NM, 8-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme23.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme23.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme23.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme23.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme23.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme23.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
Assertion
Ref Expression
cdleme23b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
Proof of Theorem cdleme23b
StepHypRef Expression
1 cdleme23.v . 2 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
2 simp11l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlol 38219 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
5 simp12l 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
6 simp13l 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
7 cdleme23.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleme23.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdleme23.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9hlatjcl 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
112, 5, 6, 10syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
122hllatd 38222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
13 simp2l 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 simp11r 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
15 cdleme23.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
167, 15lhpbase 38857 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1714, 16syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
18 cdleme23.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
197, 18latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
2012, 13, 17, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
217, 8latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
2212, 11, 20, 21syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
237, 18latmassOLD 38087 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)))
244, 11, 22, 17, 23syl13anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)))
25 cdleme23.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
267, 25, 8latlej1 18397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2712, 11, 20, 26syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
287, 25, 18latleeqm1 18416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
2912, 11, 22, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇))
3130oveq1d 7420 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
327, 9atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
335, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
347, 9atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
356, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
367, 8latjjdir 18441 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
3712, 33, 35, 20, 36syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
38 simp32 1210 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
39 simp33 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4038, 39oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑋 ∨ 𝑋))
417, 8latjidm 18411 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
4212, 13, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
4337, 40, 423eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4443oveq1d 7420 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
4544oveq2d 7421 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
4624, 31, 453eqtr3d 2780 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
47 simp12r 1287 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
48 simp31 1209 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
4925, 8, 18, 9, 15lhpat 38902 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
502, 14, 5, 47, 6, 48, 49syl222anc 1386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
5146, 50eqeltrrd 2834 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐴)
521, 51eqeltrid 2837 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  OLcol 38032  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme28a  39229
  Copyright terms: Public domain W3C validator