Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme23b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme23b 38842
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 4th paragraph, 6th line on p. 115. (Contributed by NM, 8-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme23.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme23.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme23.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme23.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme23.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme23.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
Assertion
Ref Expression
cdleme23b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cdleme23b
StepHypRef Expression
1 cdleme23.v . 2 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
2 simp11l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlol 37852 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
5 simp12l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
6 simp13l 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
7 cdleme23.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleme23.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdleme23.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9hlatjcl 37858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
112, 5, 6, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
122hllatd 37855 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
13 simp2l 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 simp11r 1286 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
15 cdleme23.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
167, 15lhpbase 38490 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1714, 16syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
18 cdleme23.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
197, 18latmcl 18336 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
2012, 13, 17, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
217, 8latjcl 18335 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
2212, 11, 20, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
237, 18latmassOLD 37720 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)))
244, 11, 22, 17, 23syl13anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)))
25 cdleme23.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
267, 25, 8latlej1 18344 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2712, 11, 20, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
287, 25, 18latleeqm1 18363 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
2912, 11, 22, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑆 ∨ 𝑇))
3130oveq1d 7377 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
327, 9atbase 37780 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
335, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
347, 9atbase 37780 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
356, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
367, 8latjjdir 18388 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
3712, 33, 35, 20, 36syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
38 simp32 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
39 simp33 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4038, 39oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∨ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) = (𝑋 ∨ 𝑋))
417, 8latjidm 18358 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
4212, 13, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
4337, 40, 423eqtrd 2781 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4443oveq1d 7377 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
4544oveq2d 7378 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
4624, 31, 453eqtr3d 2785 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
47 simp12r 1288 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
48 simp31 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
4925, 8, 18, 9, 15lhpat 38535 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
502, 14, 5, 47, 6, 48, 49syl222anc 1387 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
5146, 50eqeltrrd 2839 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐴)
521, 51eqeltrid 2842 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Latclat 18327  OLcol 37665  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdleme28a  38862
  Copyright terms: Public domain W3C validator