Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme4a 36025
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 114 top. 𝐺 represents fs(r). Auxiliary lemma derived from cdleme5 36026. We show fs(r) p q. (Contributed by NM, 10-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l = (le‘𝐾)
cdleme4.j = (join‘𝐾)
cdleme4.m = (meet‘𝐾)
cdleme4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme4.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme4.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme4.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme4a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐺 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme4a
StepHypRef Expression
1 cdleme4.g . 2 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
2 simp1l 1247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 35150 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp21 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃𝐴)
5 simp22 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2817 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme4.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme4.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 35153 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
102, 4, 5, 9syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊𝐻)
12 simp3 1161 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆𝐴)
13 cdleme4.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
14 cdleme4.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdleme4.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdleme4.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
17 cdleme4.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
1813, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6cdleme1b 36012 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
192, 11, 4, 5, 12, 18syl23anc 1489 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp23 1258 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑅𝐴)
216, 7, 8hlatjcl 35153 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
222, 20, 12, 21syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
236, 15lhpbase 35784 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2411, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
256, 14latmcl 17264 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
263, 22, 24, 25syl3anc 1483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
276, 7latjcl 17263 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
283, 19, 26, 27syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
296, 13, 14latmle1 17288 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
303, 10, 28, 29syl3anc 1483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
311, 30syl5eqbr 4890 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐺 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4855  cfv 6108  (class class class)co 6881  Basecbs 16075  lecple 16167  joincjn 17156  meetcmee 17157  Latclat 17257  Atomscatm 35049  HLchlt 35136  LHypclh 35770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5230  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-lub 17186  df-glb 17187  df-join 17188  df-meet 17189  df-lat 17258  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-lhyp 35774
This theorem is referenced by:  cdleme18c  36079  cdleme41sn3a  36219
  Copyright terms: Public domain W3C validator