Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme4a 39649
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 114 top. 𝐺 represents fs(r). Auxiliary lemma derived from cdleme5 39650. We show fs(r) p q. (Contributed by NM, 10-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l = (le‘𝐾)
cdleme4.j = (join‘𝐾)
cdleme4.m = (meet‘𝐾)
cdleme4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme4.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme4.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme4.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme4a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐺 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme4a
StepHypRef Expression
1 cdleme4.g . 2 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
2 simp1l 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp21 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑃𝐴)
5 simp22 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme4.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme4.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 38776 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
102, 4, 5, 9syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1r 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊𝐻)
12 simp3 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆𝐴)
13 cdleme4.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
14 cdleme4.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdleme4.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdleme4.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
17 cdleme4.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
1813, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6cdleme1b 39636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
192, 11, 4, 5, 12, 18syl23anc 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp23 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑅𝐴)
216, 7, 8hlatjcl 38776 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
222, 20, 12, 21syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
236, 15lhpbase 39408 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2411, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
256, 14latmcl 18423 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
263, 22, 24, 25syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
276, 7latjcl 18422 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
283, 19, 26, 27syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
296, 13, 14latmle1 18447 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
303, 10, 28, 29syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
311, 30eqbrtrid 5177 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑆𝐴) → 𝐺 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  meetcmee 18295  Latclat 18414  Atomscatm 38672  HLchlt 38759  LHypclh 39394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-lat 18415  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-lhyp 39398
This theorem is referenced by:  cdleme18c  39703  cdleme41sn3a  39843
  Copyright terms: Public domain W3C validator