Proof of Theorem cdleme4a
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme4.g |
. 2
⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) |
2 | | simp1l 1199 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) |
3 | 2 | hllatd 37115 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat) |
4 | | simp21 1208 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
5 | | simp22 1209 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) |
7 | | cdleme4.j |
. . . . 5
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
8 | | cdleme4.a |
. . . . 5
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37118 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1373 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) |
11 | | simp1r 1200 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
12 | | simp3 1140 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴) |
13 | | cdleme4.l |
. . . . . 6
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
14 | | cdleme4.m |
. . . . . 6
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
15 | | cdleme4.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
16 | | cdleme4.u |
. . . . . 6
⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) |
17 | | cdleme4.f |
. . . . . 6
⊢ 𝐹 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) |
18 | 13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6 | cdleme1b 37977 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾)) |
19 | 2, 11, 4, 5, 12, 18 | syl23anc 1379 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾)) |
20 | | simp23 1210 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴) |
21 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37118 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) |
22 | 2, 20, 12, 21 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) |
23 | 6, 15 | lhpbase 37749 |
. . . . . 6
⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) |
24 | 11, 23 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) |
25 | 6, 14 | latmcl 17946 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) |
26 | 3, 22, 24, 25 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) |
27 | 6, 7 | latjcl 17945 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) |
28 | 3, 19, 26, 27 | syl3anc 1373 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) |
29 | 6, 13, 14 | latmle1 17970 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) |
30 | 3, 10, 28, 29 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) |
31 | 1, 30 | eqbrtrid 5088 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝐺 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) |