Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme4.g |
. 2
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
2 | | simp1l 1194 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 38747 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β πΎ β Lat) |
4 | | simp21 1203 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
5 | | simp22 1204 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
6 | | eqid 2726 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme4.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme4.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 38750 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1r 1195 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π β π») |
12 | | simp3 1135 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
13 | | cdleme4.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme4.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme4.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme4.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme4.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
18 | 13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6 | cdleme1b 39610 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | 2, 11, 4, 5, 12, 18 | syl23anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp23 1205 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π
β π΄) |
21 | 6, 7, 8 | hlatjcl 38750 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 20, 12, 21 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 6, 15 | lhpbase 39382 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 11, 23 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 14 | latmcl 18405 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 3, 22, 24, 25 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 6, 7 | latjcl 18404 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 19, 26, 27 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
29 | 6, 13, 14 | latmle1 18429 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β€ (π β¨ π)) |
30 | 3, 10, 28, 29 | syl3anc 1368 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β€ (π β¨ π)) |
31 | 1, 30 | eqbrtrid 5176 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π΄) β πΊ β€ (π β¨ π)) |