Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp2rl 1241 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π΄) |
2 | | simp3 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π
β€ (π β¨ π)) |
3 | | cdleme32.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
4 | | cdleme32.i |
. . . 4
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
5 | | cdleme32.n |
. . . 4
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
6 | | cdleme32a1.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))) |
7 | | cdleme32a1.z |
. . . 4
β’ π = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π)) |
8 | 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme31sn1c 39563 |
. . 3
β’ ((π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π = π) |
9 | 1, 2, 8 | syl2anc 583 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π = π) |
10 | | cdleme32.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
11 | 10 | fvexi 6906 |
. . 3
β’ π΅ β V |
12 | | nfv 1916 |
. . . 4
β’
β²π‘(((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) |
13 | | nfra1 3280 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π) |
14 | | nfcv 2902 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘π΅ |
15 | 13, 14 | nfriota 7381 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘(β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π)) |
16 | 7, 15 | nfcxfr 2900 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π |
17 | | nfcv 2902 |
. . . . . 6
β’
β²π‘
β€ |
18 | | nfcv 2902 |
. . . . . 6
β’
β²π‘(π β¨ π) |
19 | 16, 17, 18 | nfbr 5196 |
. . . . 5
β’
β²π‘ π β€ (π β¨ π) |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β β²π‘ π β€ (π β¨ π)) |
21 | 7 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π))) |
22 | | breq1 5152 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
23 | 22 | adantl 481 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π = π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
24 | | simpl11 1247 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
25 | | simp12l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
26 | 25 | adantr 480 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
27 | | simp13l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
28 | 27 | adantr 480 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
29 | 1 | adantr 480 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
30 | | simprl 768 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π‘ β π΄) |
31 | | cdleme32.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
32 | | cdleme32.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
33 | | cdleme32.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
34 | | cdleme32.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
35 | | cdleme32.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
36 | | cdleme32.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
37 | | cdleme32.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
38 | 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 6 | cdleme4a 39414 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π‘ β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
39 | 24, 26, 28, 29, 30, 38 | syl131anc 1382 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β€ (π β¨ π)) |
40 | 39 | ex 412 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β ((π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π))) |
41 | | simp1 1135 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
42 | | simp2rr 1242 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ π) |
43 | | simp2l 1198 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
44 | 10, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 6, 7 | cdleme25cl 39532 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΅) |
45 | 41, 1, 42, 43, 2, 44 | syl122anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΅) |
46 | | simp11 1202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
47 | | simp12 1203 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
48 | | simp13 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
49 | 31, 32, 34, 35 | cdlemb2 39216 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ‘ β π΄ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
50 | 46, 47, 48, 43, 49 | syl121anc 1374 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β βπ‘ β π΄ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
51 | 12, 20, 21, 23, 40, 45, 50 | riotasv3d 38134 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ π΅ β V) β π β€ (π β¨ π)) |
52 | 11, 51 | mpan2 688 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
53 | 9, 52 | eqbrtrd 5171 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π β€ (π β¨ π)) |