Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme4.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
2 | 1 | oveq2i 7369 |
. 2
β’ (π
β¨ πΊ) = (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
3 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
5 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdleme4.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme4.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 7, 8, 9 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | 3, 5, 6, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
12 | 3 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
13 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simp3ll 1245 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
15 | | cdleme4.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdleme4.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | cdleme4.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | | cdleme4.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
19 | | cdleme4.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
20 | 15, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 7 | cdleme1b 38692 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
21 | 13, 5, 6, 14, 20 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
22 | 7, 8, 9 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 3, 4, 14, 22 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
25 | 7, 17 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 7, 16 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
28 | 12, 23, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 7, 8 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
30 | 12, 21, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
31 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
32 | 7, 15, 8, 16, 9 | atmod3i1 38330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = ((π β¨ π) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))))) |
33 | 3, 4, 11, 30, 31, 32 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = ((π β¨ π) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))))) |
34 | 7, 9 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 14, 34 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
36 | 7, 15, 8 | latlej2 18339 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ (π β¨ π))) |
37 | 12, 35, 11, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β€ (π β¨ (π β¨ π))) |
38 | 7, 9 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
39 | 4, 38 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
40 | 7, 8 | latj12 18374 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π
β¨ (πΉ β¨ π)) = (πΉ β¨ (π
β¨ π))) |
41 | 12, 39, 21, 35, 40 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ (πΉ β¨ π)) = (πΉ β¨ (π
β¨ π))) |
42 | 15, 8, 16, 9, 17, 18, 7 | cdleme0aa 38676 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
43 | 13, 5, 6, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
44 | 7, 8 | latj12 18374 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π β¨ (π
β¨ π)) = (π
β¨ (π β¨ π))) |
45 | 12, 35, 39, 43, 44 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (π
β¨ π)) = (π
β¨ (π β¨ π))) |
46 | 15, 8, 16, 9, 17, 18 | cdleme4 38704 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π
β¨ π)) |
47 | 46 | 3adant3l 1181 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π
β¨ π)) |
48 | 47 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π
β¨ π))) |
49 | 7, 8 | latjcom 18337 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ π) = (π β¨ πΉ)) |
50 | 12, 21, 35, 49 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π) = (π β¨ πΉ)) |
51 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
52 | 15, 8, 16, 9, 17, 18, 19 | cdleme1 38693 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ π)) |
53 | 13, 5, 6, 51, 52 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ π)) |
54 | 50, 53 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π) = (π β¨ π)) |
55 | 54 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ (πΉ β¨ π)) = (π
β¨ (π β¨ π))) |
56 | 45, 48, 55 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π
β¨ (πΉ β¨ π))) |
57 | 15, 8, 9 | hlatlej1 37840 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π
β€ (π
β¨ π)) |
58 | 3, 4, 14, 57 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π
β¨ π)) |
59 | 7, 15, 8, 16, 9 | atmod3i1 38330 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π
β€ (π
β¨ π)) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
60 | 3, 4, 23, 26, 58, 59 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
61 | | simp23r 1296 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ π) |
62 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
63 | 15, 8, 62, 9, 17 | lhpjat2 38487 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β¨ π) = (1.βπΎ)) |
64 | 13, 4, 61, 63 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (1.βπΎ)) |
65 | 64 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ))) |
66 | | hlol 37826 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
67 | 3, 66 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β OL) |
68 | 7, 16, 62 | olm11 37692 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π
β¨ π)) |
69 | 67, 23, 68 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π
β¨ π)) |
70 | 65, 69 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (π
β¨ π)) |
71 | 60, 70 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = (π
β¨ π)) |
72 | 71 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) = (πΉ β¨ (π
β¨ π))) |
73 | 41, 56, 72 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (πΉ β¨ (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
74 | 7, 8 | latj12 18374 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉ β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ))) β (πΉ β¨ (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) = (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
75 | 12, 21, 39, 28, 74 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) = (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
76 | 73, 75 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
77 | 37, 76 | breqtrd 5132 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β€ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) |
78 | 7, 8 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
79 | 12, 39, 30, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
80 | 7, 15, 16 | latleeqm1 18357 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β€ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π))) |
81 | 12, 11, 79, 80 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β€ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π))) |
82 | 77, 81 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π)) |
83 | 33, 82 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)))) = (π β¨ π)) |
84 | 2, 83 | eqtrid 2789 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ πΊ) = (π β¨ π)) |