Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs32fva1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefrs32fva1 38893
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.eq (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
cdlemefrs27.nb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
cdlemefrs27.rnb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
cdleme29frs.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme29frs.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs32fva1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑠,𝐴   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘Š,𝑠   πœ“,𝑠   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   𝑧, ≀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,π‘Š   πœ“,𝑧   𝐡,𝑠   𝑧, ∨   ∧ ,𝑠,𝑧   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯, ∨   π‘₯, ≀   π‘₯, ∧   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑠,𝑅   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑄
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑠)   πœ“(π‘₯)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefrs32fva1
StepHypRef Expression
1 simp2rl 1243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2 cdlemefrs27.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemefrs27.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atbase 37780 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
6 simp2l 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7 simp2rr 1244 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
8 cdleme29frs.o . . . 4 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
9 cdleme29frs.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
108, 9cdleme31fv1s 38884 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚)
115, 6, 7, 10syl12anc 836 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚)
12 cdlemefrs27.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 cdlemefrs27.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 cdlemefrs27.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
15 cdlemefrs27.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdlemefrs27.eq . . 3 (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
17 cdlemefrs27.nb . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
18 cdlemefrs27.rnb . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
192, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 17, 18, 8cdlemefrs32fva 38892 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚ = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
2011, 19eqtrd 2777 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (πΉβ€˜π‘…) = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  β¦‹csb 3860  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdlemefr32fva1  38902  cdlemefs32fva1  38915
  Copyright terms: Public domain W3C validator