Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp2rl 1243 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π
β π΄) |
2 | | cdlemefrs27.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemefrs27.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 2, 3 | atbase 37780 |
. . 3
β’ (π
β π΄ β π
β π΅) |
5 | | cdleme29frs.o |
. . . 4
β’ π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π)))) |
6 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(β©π§
β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
7 | 5, 6 | cdleme31so 38871 |
. . 3
β’ (π
β π΅ β β¦π
/ π₯β¦π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
8 | 1, 4, 7 | 3syl 18 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β¦π
/ π₯β¦π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
9 | | ssidd 3972 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π΅ β π΅) |
10 | | simpll 766 |
. . . . . . . 8
β’ (((Β¬
π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β Β¬ π β€ π) |
11 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ (((Β¬
π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (π β¨ (π
β§ π)) = π
) |
12 | 10, 11 | jca 513 |
. . . . . . 7
β’ (((Β¬
π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
)) |
13 | 12 | imim1i 63 |
. . . . . 6
β’ (((Β¬
π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
14 | 13 | ralimi 3087 |
. . . . 5
β’
(βπ β
π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
15 | 14 | rgenw 3069 |
. . . 4
β’
βπ§ β
π΅ (βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
16 | 15 | a1i 11 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β βπ§ β π΅ (βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
17 | | cdlemefrs27.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
18 | | cdlemefrs27.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
19 | | cdlemefrs27.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
20 | | cdlemefrs27.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
21 | | cdlemefrs27.eq |
. . . . 5
β’ (π = π
β (π β π)) |
22 | | cdlemefrs27.nb |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΅) |
23 | | cdlemefrs27.rnb |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β¦π
/ π β¦π β π΅) |
24 | 2, 17, 18, 19, 3, 20, 21, 22, 23 | cdlemefrs29bpre1 38889 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β βπ§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
25 | | simpl11 1249 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
26 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
27 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β π) |
28 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β π β π΄) |
29 | 2, 17, 18, 19, 3, 20, 21 | cdlemefrs29pre00 38887 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
30 | 25, 26, 27, 28, 29 | syl31anc 1374 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
31 | 30 | imbi1d 342 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β ((((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
32 | 31 | ralbidva 3173 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
33 | 32 | rexbidv 3176 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
34 | 24, 33 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β βπ§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
35 | 2, 17, 18, 19, 3, 20, 21, 22, 23 | cdlemefrs29cpre1 38890 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β!π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
36 | | riotass2 7349 |
. . 3
β’ (((π΅ β π΅ β§ βπ§ β π΅ (βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) β§ (βπ§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β§ β!π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
37 | 9, 16, 34, 35, 36 | syl22anc 838 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
38 | 2, 17, 18, 19, 3, 20, 21, 22 | cdlemefrs29bpre0 38888 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β π§ = β¦π
/ π β¦π)) |
39 | 38 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π§ β π΅) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β π§ = β¦π
/ π β¦π)) |
40 | 23, 39 | riota5 7348 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) = β¦π
/ π β¦π) |
41 | 8, 37, 40 | 3eqtrd 2781 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β¦π
/ π₯β¦π = β¦π
/ π β¦π) |