MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 24374
Description: Lemma for metnrm 24378. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
3 inelcm 4465 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…)
43expcom 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
54adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
65necon2bd 2957 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ… β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8 eqcom 2740 . . . . . 6 (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1413cldss 22533 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1716mopnuni 23947 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1915, 18sseqtrrd 4024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2213cldss 22533 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2423, 18sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
25 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
2624, 25sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 24370 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
308, 29bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
31 cldcls 22546 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3332eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
3430, 33bitrd 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
357, 34mtbird 325 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 0 = (πΉβ€˜π΄))
3627metdsf 24364 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3837, 26ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 13434 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
4039simprbi 498 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
42 0xr 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43 eliccxr 13412 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 13123 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4642, 44, 45sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4741, 46mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4847ord 863 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4935, 48mt3d 148 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
50 1xr 11273 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
51 ifcl 4574 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
5250, 44, 51sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
53 1red 11215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
54 0lt1 11736 . . . . . 6 0 < 1
55 breq2 5153 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
56 breq2 5153 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
5755, 56ifboth 4568 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
5854, 49, 57sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
59 xrltle 13128 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6042, 52, 59sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6158, 60mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
62 xrmin1 13156 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
6350, 44, 62sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
64 xrrege0 13153 . . . 4 (((if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6552, 53, 61, 63, 64syl22anc 838 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6665, 58elrpd 13013 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+)
6749, 66jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  Clsdccld 22520  clsccl 22522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24376  metnrmlem3  24377
  Copyright terms: Public domain W3C validator