Theorem metnrmlem1a 24894

Description: Lemma for metnrm 24898. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
3		inelcm 4471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅)
4	3	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
6	5	necon2bd 2954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8		eqcom 2742	. . . . . 6 ⊢ (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = 0)
9		metnrmlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	13	cldss 23053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
16		metdscn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	mopnuni 24467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	sseqtrrd 4037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20		metnrmlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
22	13	cldss 23053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
24	23, 18	sseqtrrd 4037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
26	24, 25	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		metdscn.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	27, 16	metdseq0 24890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
29	10, 19, 26, 28	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
30	8, 29	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31		cldcls 23066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
32	12, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
33	32	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
34	30, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
35	7, 34	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 0 = (𝐹‘𝐴))
36	27	metdsf 24884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
37	10, 19, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
38	37, 26	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39		elxrge0 13494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
40	39	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
41	38, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
42		0xr 11306	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		eliccxr 13472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
44	38, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
45		xrleloe 13183	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
46	42, 44, 45	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
47	41, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
48	47	ord 864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
49	35, 48	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < (𝐹‘𝐴))
50		1xr 11318	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
51		ifcl 4576	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
52	50, 44, 51	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
53		1red 11260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54		0lt1 11783	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
55		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
56		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
57	55, 56	ifboth 4570	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
58	54, 49, 57	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
59		xrltle 13188	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
60	42, 52, 59	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
61	58, 60	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
62		xrmin1 13216	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
63	50, 44, 62	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
64		xrrege0 13213	. . . 4 ⊢ (((if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
65	52, 53, 61, 63, 64	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
66	65, 58	elrpd 13072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+)
67	49, 66	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℝ⁺crp 13032  [,]cicc 13387  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  Clsdccld 23040  clsccl 23042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045

This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24896  metnrmlem3  24897