MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 24221
Description: Lemma for metnrm 24225. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) = ∅)
3 inelcm 4424 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) ≠ ∅)
43expcom 414 . . . . . . 7 (𝐴𝑇 → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
65necon2bd 2959 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝑆𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑆)
8 eqcom 2743 . . . . . 6 (0 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1413cldss 22380 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716mopnuni 23794 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑋 = 𝐽)
1915, 18sseqtrrd 3985 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2213cldss 22380 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 𝐽)
2423, 18sseqtrrd 3985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇𝑋)
25 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2624, 25sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 24217 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
308, 29bitrid 282 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31 cldcls 22393 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3332eleq2d 2823 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴𝑆))
3430, 33bitrd 278 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴𝑆))
357, 34mtbird 324 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 0 = (𝐹𝐴))
3627metdsf 24211 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3837, 26ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 13374 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
4039simprbi 497 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
42 0xr 11202 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43 eliccxr 13352 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 13063 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4642, 44, 45sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4741, 46mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
4847ord 862 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
4935, 48mt3d 148 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < (𝐹𝐴))
50 1xr 11214 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
51 ifcl 4531 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
5250, 44, 51sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
53 1red 11156 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54 0lt1 11677 . . . . . 6 0 < 1
55 breq2 5109 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
56 breq2 5109 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < (𝐹𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
5755, 56ifboth 4525 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
5854, 49, 57sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
59 xrltle 13068 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6042, 52, 59sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6158, 60mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
62 xrmin1 13096 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
6350, 44, 62sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
64 xrrege0 13093 . . . 4 (((if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6552, 53, 61, 63, 64syl22anc 837 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6665, 58elrpd 12954 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+)
6749, 66jca 512 1 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  +crp 12915  [,]cicc 13267  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  Clsdccld 22367  clsccl 22369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24223  metnrmlem3  24224
  Copyright terms: Public domain W3C validator