Theorem metnrmlem1a 24899

Description: Lemma for metnrm 24903. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
3		inelcm 4488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅)
4	3	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
6	5	necon2bd 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = 0)
9		metnrmlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	13	cldss 23058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
16		metdscn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	mopnuni 24472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	sseqtrrd 4050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20		metnrmlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
22	13	cldss 23058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
24	23, 18	sseqtrrd 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
26	24, 25	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		metdscn.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	27, 16	metdseq0 24895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
29	10, 19, 26, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
30	8, 29	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31		cldcls 23071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
32	12, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
33	32	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
34	30, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
35	7, 34	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 0 = (𝐹‘𝐴))
36	27	metdsf 24889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
37	10, 19, 36	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
38	37, 26	ffvelcdmd 7119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39		elxrge0 13517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
40	39	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
41	38, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
42		0xr 11337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		eliccxr 13495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
44	38, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
45		xrleloe 13206	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
46	42, 44, 45	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
47	41, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
48	47	ord 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
49	35, 48	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < (𝐹‘𝐴))
50		1xr 11349	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
51		ifcl 4593	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
52	50, 44, 51	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
53		1red 11291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54		0lt1 11812	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
55		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
56		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
57	55, 56	ifboth 4587	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
58	54, 49, 57	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
59		xrltle 13211	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
60	42, 52, 59	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
61	58, 60	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
62		xrmin1 13239	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
63	50, 44, 62	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
64		xrrege0 13236	. . . 4 ⊢ (((if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
65	52, 53, 61, 63, 64	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
66	65, 58	elrpd 13096	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+)
67	49, 66	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  infcinf 9510  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057  [,]cicc 13410  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  Clsdccld 23045  clsccl 23047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050

This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24901  metnrmlem3  24902