Theorem metnrmlem1a 24355

Description: Lemma for metnrm 24359. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
3		inelcm 4462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅)
4	3	expcom 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
5	4	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
6	5	necon2bd 2957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = 0)
9		metnrmlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
12	11	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	13	cldss 22514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
16		metdscn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	mopnuni 23928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	sseqtrrd 4021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20		metnrmlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
21	20	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
22	13	cldss 22514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
24	23, 18	sseqtrrd 4021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
25		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
26	24, 25	sseldd 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		metdscn.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	27, 16	metdseq0 24351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
29	10, 19, 26, 28	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
30	8, 29	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31		cldcls 22527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
32	12, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
33	32	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
34	30, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
35	7, 34	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 0 = (𝐹‘𝐴))
36	27	metdsf 24345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
37	10, 19, 36	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
38	37, 26	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39		elxrge0 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
40	39	simprbi 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
41	38, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
42		0xr 11256	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		eliccxr 13407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
44	38, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
45		xrleloe 13118	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
46	42, 44, 45	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
47	41, 46	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
48	47	ord 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
49	35, 48	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < (𝐹‘𝐴))
50		1xr 11268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
51		ifcl 4571	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
52	50, 44, 51	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
53		1red 11210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54		0lt1 11731	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
55		breq2 5150	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
56		breq2 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
57	55, 56	ifboth 4565	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
58	54, 49, 57	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
59		xrltle 13123	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
60	42, 52, 59	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
61	58, 60	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
62		xrmin1 13151	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
63	50, 44, 62	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
64		xrrege0 13148	. . . 4 ⊢ (((if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
65	52, 53, 61, 63, 64	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
66	65, 58	elrpd 13008	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+)
67	49, 66	jca 513	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946  ∅c0 4320  ifcif 4526  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5146   ↦ cmpt 5229  ran crn 5675  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  infcinf 9431  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℝ⁺crp 12969  [,]cicc 13322  ∞Metcxmet 20913  MetOpencmopn 20918  Clsdccld 22501  clsccl 22503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-icc 13326  df-topgen 17384  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-top 22377  df-topon 22394  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506

This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24357  metnrmlem3  24358