MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 24143
Description: Lemma for metnrm 24147. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
3 inelcm 4423 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…)
43expcom 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
54adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
65necon2bd 2958 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ… β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8 eqcom 2745 . . . . . 6 (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
13 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1413cldss 22302 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1716mopnuni 23716 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1915, 18sseqtrrd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2213cldss 22302 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2423, 18sseqtrrd 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
25 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
2624, 25sseldd 3944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 24139 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
308, 29bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
31 cldcls 22315 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3332eleq2d 2824 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
3430, 33bitrd 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
357, 34mtbird 325 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 0 = (πΉβ€˜π΄))
3627metdsf 24133 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3837, 26ffvelcdmd 7031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
4039simprbi 498 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
42 0xr 11136 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43 eliccxr 13281 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 12992 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4642, 44, 45sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4741, 46mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4847ord 863 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4935, 48mt3d 148 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
50 1xr 11148 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
51 ifcl 4530 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
5250, 44, 51sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
53 1red 11090 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
54 0lt1 11611 . . . . . 6 0 < 1
55 breq2 5108 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
56 breq2 5108 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
5755, 56ifboth 4524 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
5854, 49, 57sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
59 xrltle 12997 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6042, 52, 59sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6158, 60mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
62 xrmin1 13025 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
6350, 44, 62sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
64 xrrege0 13022 . . . 4 (((if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6552, 53, 61, 63, 64syl22anc 838 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6665, 58elrpd 12883 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+)
6749, 66jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  ifcif 4485  βˆͺ cuni 4864   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  β„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  β„+crp 12844  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704  MetOpencmopn 20709  Clsdccld 22289  clsccl 22291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24145  metnrmlem3  24146
  Copyright terms: Public domain W3C validator