MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 24594
Description: Lemma for metnrm 24598. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
21adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
3 inelcm 4463 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…)
43expcom 412 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
54adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) β‰  βˆ…))
65necon2bd 2954 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ… β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8 eqcom 2737 . . . . . 6 (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
109adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1211adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
13 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1413cldss 22753 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1716mopnuni 24167 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1915, 18sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2120adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2213cldss 22753 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2423, 18sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
25 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
2624, 25sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 24590 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
308, 29bitrid 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
31 cldcls 22766 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑆)
3332eleq2d 2817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
3430, 33bitrd 278 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 = (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
357, 34mtbird 324 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 0 = (πΉβ€˜π΄))
3627metdsf 24584 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3837, 26ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 13438 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
4039simprbi 495 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
42 0xr 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43 eliccxr 13416 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 13127 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4642, 44, 45sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
4741, 46mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4847ord 860 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
4935, 48mt3d 148 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
50 1xr 11277 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
51 ifcl 4572 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
5250, 44, 51sylancr 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*)
53 1red 11219 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
54 0lt1 11740 . . . . . 6 0 < 1
55 breq2 5151 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
56 breq2 5151 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) = if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
5755, 56ifboth 4566 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
5854, 49, 57sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
59 xrltle 13132 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ*) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6042, 52, 59sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄))))
6158, 60mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)))
62 xrmin1 13160 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
6350, 44, 62sylancr 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)
64 xrrege0 13157 . . . 4 (((if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ≀ 1)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6552, 53, 61, 63, 64syl22anc 835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6665, 58elrpd 13017 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+)
6749, 66jca 510 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΄), 1, (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„+crp 12978  [,]cicc 13331  βˆžMetcxmet 21129  MetOpencmopn 21134  Clsdccld 22740  clsccl 22742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24596  metnrmlem3  24597
  Copyright terms: Public domain W3C validator