Theorem metnrmlem1a 24984

Description: Lemma for metnrm 24988. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
3		inelcm 4431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅)
4	3	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
5	4	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
6	5	necon2bd 2980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
7	2, 6	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8		eqcom 2776	. . . . . 6 ⊢ (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = 0)
9		metnrmlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	13	cldss 23154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
16		metdscn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	mopnuni 24566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	10, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	sseqtrrd 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20		metnrmlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
22	13	cldss 23154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
24	23, 18	sseqtrrd 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
25		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
26	24, 25	sseldd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		metdscn.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	27, 16	metdseq0 24980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
29	10, 19, 26, 28	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
30	8, 29	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31		cldcls 23167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
32	12, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
33	32	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
34	30, 33	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
35	7, 34	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 0 = (𝐹‘𝐴))
36	27	metdsf 24974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
37	10, 19, 36	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
38	37, 26	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39		elxrge0 13483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
40	39	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
41	38, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
42		0xr 11255	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		eliccxr 13461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
44	38, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
45		xrleloe 13168	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
46	42, 44, 45	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
47	41, 46	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
48	47	ord 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
49	35, 48	mt3d 149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < (𝐹‘𝐴))
50		1xr 11267	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
51		ifcl 4538	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
52	50, 44, 51	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
53		1red 11208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54		0lt1 11735	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
55		breq2 5117	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
56		breq2 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
57	55, 56	ifboth 4532	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
58	54, 49, 57	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
59		xrltle 13173	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
60	42, 52, 59	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
61	58, 60	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
62		xrmin1 13202	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
63	50, 44, 62	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
64		xrrege0 13199	. . . 4 ⊢ (((if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
65	52, 53, 61, 63, 64	syl22anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
66	65, 58	elrpd 13056	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+)
67	49, 66	jca 520	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ifcif 4492  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9400  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℝ⁺crp 13015  [,]cicc 13374  ∞Metcxmet 21475  MetOpencmopn 21480  Clsdccld 23141  clsccl 23143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146

This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24986  metnrmlem3  24987