Theorem metnrmlem1a 24747

Description: Lemma for metnrm 24751. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) = ∅)
3		inelcm 4428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅)
4	3	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑆 ∩ 𝑇) ≠ ∅))
6	5	necon2bd 2941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆))
7	2, 6	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
8		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = 0)
9		metnrmlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		metnrmlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	13	cldss 22916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
16		metdscn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
17	16	mopnuni 24329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	sseqtrrd 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20		metnrmlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
22	13	cldss 22916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
24	23, 18	sseqtrrd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
26	24, 25	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		metdscn.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	27, 16	metdseq0 24743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
29	10, 19, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
30	8, 29	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31		cldcls 22929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
32	12, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
33	32	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
34	30, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 = (𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝑆))
35	7, 34	mtbird 325	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → ¬ 0 = (𝐹‘𝐴))
36	27	metdsf 24737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
37	10, 19, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
38	37, 26	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39		elxrge0 13418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
40	39	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
41	38, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
42		0xr 11221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		eliccxr 13396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
44	38, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
45		xrleloe 13104	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
46	42, 44, 45	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
47	41, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
48	47	ord 864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
49	35, 48	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < (𝐹‘𝐴))
50		1xr 11233	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
51		ifcl 4534	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
52	50, 44, 51	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*)
53		1red 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54		0lt1 11700	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
55		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
56		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
57	55, 56	ifboth 4528	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
58	54, 49, 57	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
59		xrltle 13109	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
60	42, 52, 59	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴))))
61	58, 60	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)))
62		xrmin1 13137	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
63	50, 44, 62	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)
64		xrrege0 13134	. . . 4 ⊢ (((if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
65	52, 53, 61, 63, 64	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
66	65, 58	elrpd 12992	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+)
67	49, 66	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹‘𝐴), 1, (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951  [,]cicc 13309  ∞Metcxmet 21249  MetOpencmopn 21254  Clsdccld 22903  clsccl 22905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908

This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24749  metnrmlem3  24750