MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 24880
Description: Lemma for metnrm 24884. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) = ∅)
3 inelcm 4465 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) ≠ ∅)
43expcom 413 . . . . . . 7 (𝐴𝑇 → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
65necon2bd 2956 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝑆𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑆)
8 eqcom 2744 . . . . . 6 (0 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1413cldss 23037 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716mopnuni 24451 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑋 = 𝐽)
1915, 18sseqtrrd 4021 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2213cldss 23037 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 𝐽)
2423, 18sseqtrrd 4021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇𝑋)
25 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2624, 25sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 24876 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
308, 29bitrid 283 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31 cldcls 23050 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3332eleq2d 2827 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴𝑆))
3430, 33bitrd 279 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴𝑆))
357, 34mtbird 325 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 0 = (𝐹𝐴))
3627metdsf 24870 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3837, 26ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 13497 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
4039simprbi 496 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
42 0xr 11308 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43 eliccxr 13475 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 13186 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4642, 44, 45sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4741, 46mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
4847ord 865 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
4935, 48mt3d 148 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < (𝐹𝐴))
50 1xr 11320 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
51 ifcl 4571 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
5250, 44, 51sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
53 1red 11262 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 1 ∈ ℝ)
54 0lt1 11785 . . . . . 6 0 < 1
55 breq2 5147 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
56 breq2 5147 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < (𝐹𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
5755, 56ifboth 4565 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
5854, 49, 57sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
59 xrltle 13191 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6042, 52, 59sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6158, 60mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
62 xrmin1 13219 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
6350, 44, 62sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
64 xrrege0 13216 . . . 4 (((if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6552, 53, 61, 63, 64syl22anc 839 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6665, 58elrpd 13074 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+)
6749, 66jca 511 1 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034  [,]cicc 13390  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  Clsdccld 23024  clsccl 23026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  24882  metnrmlem3  24883
  Copyright terms: Public domain W3C validator