Theorem lmcld 23190

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
lmcld	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lmcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmcls.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
6		lmcld.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	cldss 22916	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10		toponuni 22801	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	9, 11	sseqtrrd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 23189	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14		cldcls 22929	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	6, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
16	13, 15	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  TopOnctopon 22797  Clsdccld 22903  clsccl 22905  ⇝_𝑡clm 23113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-top 22781  df-topon 22798  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-lm 23116

This theorem is referenced by:  1stckgen  23441  lmle  25201