MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcld 21906
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmff.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcls.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
lmcld (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmff.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 lmff.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lmcls.5 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
5 lmcls.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
6 lmcld.8 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2822 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
87cldss 21632 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 𝐽)
10 toponuni 21517 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
129, 11sseqtrrd 3983 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 21905 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14 cldcls 21645 . . 3 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
156, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1613, 15eleqtrd 2916 1 (𝜑𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908   cuni 4813   class class class wbr 5042  cfv 6334  cz 11969  cuz 12231  TopOnctopon 21513  Clsdccld 21619  clsccl 21621  𝑡clm 21829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-top 21497  df-topon 21514  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-lm 21832
This theorem is referenced by:  1stckgen  22157  lmle  23903
  Copyright terms: Public domain W3C validator