Theorem lmcld 23228

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
lmcld	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lmcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmcls.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
6		lmcld.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	cldss 22954	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10		toponuni 22839	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	9, 11	sseqtrrd 3969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 23227	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14		cldcls 22967	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	6, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
16	13, 15	eleqtrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742  TopOnctopon 22835  Clsdccld 22941  clsccl 22943  ⇝_𝑡clm 23151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-neg 11357  df-z 12479  df-uz 12743  df-top 22819  df-topon 22836  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-lm 23154

This theorem is referenced by:  1stckgen  23479  lmle  25238