MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcld 22454
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmff.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcls.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
lmcld (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmff.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 lmff.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lmcls.5 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
5 lmcls.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
6 lmcld.8 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2738 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
87cldss 22180 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 𝐽)
10 toponuni 22063 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝐽)
129, 11sseqtrrd 3962 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 22453 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14 cldcls 22193 . . 3 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
156, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1613, 15eleqtrd 2841 1 (𝜑𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   cuni 4839   class class class wbr 5074  cfv 6433  cz 12319  cuz 12582  TopOnctopon 22059  Clsdccld 22167  clsccl 22169  𝑡clm 22377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-top 22043  df-topon 22060  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-lm 22380
This theorem is referenced by:  1stckgen  22705  lmle  24465
  Copyright terms: Public domain W3C validator