Theorem lmcld 23224

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
lmcld	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lmcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmcls.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
6		lmcld.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	cldss 22950	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10		toponuni 22835	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	9, 11	sseqtrrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 23223	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14		cldcls 22963	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	6, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
16	13, 15	eleqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  TopOnctopon 22831  Clsdccld 22937  clsccl 22939  ⇝_𝑡clm 23147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-neg 11353  df-z 12475  df-uz 12739  df-top 22815  df-topon 22832  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-lm 23150

This theorem is referenced by:  1stckgen  23475  lmle  25234