Theorem lmcld 22454

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
lmcld	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lmcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmcls.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
6		lmcld.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	cldss 22180	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10		toponuni 22063	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	9, 11	sseqtrrd 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 22453	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14		cldcls 22193	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	6, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
16	13, 15	eleqtrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  TopOnctopon 22059  Clsdccld 22167  clsccl 22169  ⇝_𝑡clm 22377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-top 22043  df-topon 22060  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-lm 22380

This theorem is referenced by:  1stckgen  22705  lmle  24465