Theorem lmcld 23421

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmff.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmff.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcls.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcls.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
lmcld.8	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
lmcld	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑃,𝑘   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑍

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		lmff.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lmcls.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
5		lmcls.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
6		lmcld.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	cldss 23147	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
9	6, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
10		toponuni 23032	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	2, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	9, 11	sseqtrrd 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 23420	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
14		cldcls 23160	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	6, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
16	13, 15	eleqtrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4868   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  TopOnctopon 23028  Clsdccld 23134  clsccl 23136  ⇝_𝑡clm 23344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-neg 11432  df-z 12583  df-uz 12854  df-top 23012  df-topon 23029  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-lm 23347

This theorem is referenced by:  1stckgen  23672  lmle  25421