Theorem restcls2 49720

Description: A closed set in a subspace topology is the closure in the original topology intersecting with the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem restcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
2	1	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cls‘𝐾) = (cls‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
3	2	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆))
4		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
5		cldcls 23210	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
7		restcls2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		restcls2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		restcls2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
10	8, 9	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
11	7, 9, 8, 1, 4	restcls2lem 49719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
14	12, 13	restcls 23349	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
16	3, 6, 15	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17479  Topctop 23061  Clsdccld 23184  clsccl 23186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9369  df-rest 17481  df-topgen 17502  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cld 23187  df-cls 23189

This theorem is used by:  restclsseplem  49721