Theorem restcls2 47499

Description: A closed set in a subspace topology is the closure in the original topology intersecting with the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem restcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
2	1	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cls‘𝐾) = (cls‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
3	2	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆))
4		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
5		cldcls 22537	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
7		restcls2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		restcls2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		restcls2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
10	8, 9	sseqtrd 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
11	7, 9, 8, 1, 4	restcls2lem 47498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
14	12, 13	restcls 22676	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
16	3, 6, 15	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↾_t crest 17362  Topctop 22386  Clsdccld 22511  clsccl 22513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cls 22516

This theorem is referenced by:  restclsseplem  47500