Theorem restcls2 49720

Description: A closed set in a subspace topology is the closure in the original topology intersecting with the subspace. (Contributed by Zhi Wang, 2-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
restcls2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
restcls2.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
restcls2.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
restcls2.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
restcls2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem restcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌))
2	1	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cls‘𝐾) = (cls‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
3	2	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆))
4		restcls2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾))
5		cldcls 23208	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐾)‘𝑆) = 𝑆)
7		restcls2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		restcls2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		restcls2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
10	8, 9	sseqtrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
11	7, 9, 8, 1, 4	restcls2lem 49719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑌)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
14	12, 13	restcls 23347	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘𝑆) = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))
16	3, 6, 15	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17477  Topctop 23059  Clsdccld 23182  clsccl 23184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-rest 17479  df-topgen 17500  df-top 23060  df-topon 23077  df-bases 23112  df-cld 23185  df-cls 23187

This theorem is used by:  restclsseplem  49721