Theorem climresmpt 45580

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climresmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
climresmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climresmpt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresmpt.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2	1	reseq1i 6005	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
4		climresmpt.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		climresmpt.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzss 12926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 5	sseqtrrdi 4060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
10		resmpt 6066	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
12		climresmpt.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)
13	12	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
15	3, 11, 14	3eqtrrd 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
16	15	breq1d 5176	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵))
17		eluzelz 12913	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	6, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	5	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V)
22	1, 21	eqeltrid 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		climres 15621	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
24	18, 22, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
25	16, 24	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-clim 15534

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46407