Theorem climresmpt 46431

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climresmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
climresmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climresmpt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresmpt.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2	1	reseq1i 5976	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
4		climresmpt.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		climresmpt.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzss 12901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 5	sseqtrrdi 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
10		resmpt 6041	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
12		climresmpt.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)
13	12	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
15	3, 11, 14	3eqtrrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
16	15	breq1d 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵))
17		eluzelz 12888	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	6, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	5	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	mptex 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V)
22	1, 21	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		climres 15650	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
24	18, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
25	16, 24	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879  df-clim 15563

This theorem is used by:  meaiininclem  47258