Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresmpt 42232
 Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climresmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climresmpt.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
climresmpt.n (𝜑𝑁𝑍)
climresmpt.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climresmpt (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt
StepHypRef Expression
1 climresmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
21reseq1i 5836 . . . . 5 (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)))
4 climresmpt.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
5 climresmpt.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uzss 12262 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 5sseqtrrdi 4004 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
10 resmpt 5892 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
12 climresmpt.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
1312eqcomi 2833 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
153, 11, 143eqtrrd 2864 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)))
1615breq1d 5062 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵))
17 eluzelz 12250 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
186, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
195fvexi 6675 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2019mptex 6977 . . . . 5 (𝑥𝑍𝐴) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) ∈ V)
221, 21eqeltrid 2920 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
23 climres 14932 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2418, 22, 23syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2516, 24bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  ℤcz 11978  ℤ≥cuz 12240   ⇝ cli 14841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-neg 10871  df-z 11979  df-uz 12241  df-clim 14845 This theorem is referenced by:  meaiininclem  43056
 Copyright terms: Public domain W3C validator