Theorem climresmpt 45316

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climresmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
climresmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climresmpt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresmpt.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2	1	reseq1i 5977	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
4		climresmpt.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		climresmpt.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzss 12891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 5	sseqtrrdi 4030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
10		resmpt 6038	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
12		climresmpt.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)
13	12	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
15	3, 11, 14	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
16	15	breq1d 5155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵))
17		eluzelz 12878	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	6, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	5	fvexi 6907	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	mptex 7232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V)
22	1, 21	eqeltrid 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		climres 15572	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
24	18, 22, 23	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
25	16, 24	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228   ↾ cres 5676  ‘cfv 6546  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868   ⇝ cli 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-neg 11488  df-z 12605  df-uz 12869  df-clim 15485

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46143