Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresmpt 43990
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climresmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climresmpt.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
climresmpt.n (𝜑𝑁𝑍)
climresmpt.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climresmpt (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt
StepHypRef Expression
1 climresmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
21reseq1i 5937 . . . . 5 (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)))
4 climresmpt.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
5 climresmpt.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uzss 12794 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 5sseqtrrdi 3999 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
10 resmpt 5995 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
12 climresmpt.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
1312eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
153, 11, 143eqtrrd 2778 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)))
1615breq1d 5119 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵))
17 eluzelz 12781 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
186, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
195fvexi 6860 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2019mptex 7177 . . . . 5 (𝑥𝑍𝐴) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) ∈ V)
221, 21eqeltrid 2838 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
23 climres 15466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2418, 22, 23syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2516, 24bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109  cmpt 5192  cres 5639  cfv 6500  cz 12507  cuz 12771  cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-clim 15379
This theorem is referenced by:  meaiininclem  44817
  Copyright terms: Public domain W3C validator