Theorem climresmpt 46017

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climresmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
climresmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climresmpt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresmpt.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2	1	reseq1i 5942	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
4		climresmpt.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		climresmpt.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzss 12786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 5	sseqtrrdi 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
10		resmpt 6004	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
12		climresmpt.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)
13	12	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
15	3, 11, 14	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
16	15	breq1d 5110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵))
17		eluzelz 12773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	6, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	5	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	mptex 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V)
22	1, 21	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		climres 15510	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
24	18, 22, 23	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
25	16, 24	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46844