Theorem climresmpt 45644

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climresmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
climresmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climresmpt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresmpt.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2	1	reseq1i 5930	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
4		climresmpt.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		climresmpt.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzss 12776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	8, 5	sseqtrrdi 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
10		resmpt 5992	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴))
12		climresmpt.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴)
13	12	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
15	3, 11, 14	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)))
16	15	breq1d 5105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵))
17		eluzelz 12763	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	6, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	5	fvexi 6840	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	mptex 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ V)
22	1, 21	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		climres 15500	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
24	18, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))
25	16, 24	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐵 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11368  df-z 12490  df-uz 12754  df-clim 15413

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46471