Theorem climsubmpt 45642

Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsubmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climsubmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsubmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climsubmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐶 − 𝐷))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsubmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climsubmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climsubmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7163	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ V)
7		climsubmpt.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
9		climsubmpt.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	9, 10	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
13	12	nfcsb1 3876	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
14	13	nfel1 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
15	11, 14	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
16		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
17	16	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
18		csbeq1a 3867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
19	18	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)))
21		climsubmpt.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	15, 20, 21	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
24	12, 13, 18, 23	fvmptf 6955	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25	8, 22, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
26	25, 22	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
27	12	nfcsb1 3876	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
28		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
29	27, 28	nfel 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
30	11, 29	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
31		csbeq1a 3867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
32	31	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
33	17, 32	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
34		climsubmpt.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
37	12, 27, 31, 36	fvmptf 6955	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
38	8, 35, 37	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
39	38, 35	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
40		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ V)
41		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 −
42	13, 41, 27	nfov 7383	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
43	18, 31	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 − 𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
44		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))
45	12, 42, 43, 44	fvmptf 6955	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
46	8, 40, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
47	25, 38	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) − ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
48	46, 47	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) − ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
49	1, 2, 3, 6, 7, 26, 39, 48	climsub 15559	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ⦋csb 3853   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413

This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  45643  climsubc1mpt  45644