Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubmpt 40410
Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climsubmpt.k 𝑘𝜑
climsubmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsubmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climsubmpt (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsubmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climsubmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climsubmpt.c . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
4 fvex 6342 . . . . 5 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2846 . . . 4 𝑍 ∈ V
65mptex 6630 . . 3 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V)
8 climsubmpt.d . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
9 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
10 climsubmpt.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
11 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
1210, 11nfan 1980 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
13 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
1413nfcsb1 3697 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
1514nfel1 2928 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
1612, 15nfim 1977 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
17 eleq1w 2833 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1817anbi2d 606 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
19 csbeq1a 3691 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2019eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2118, 20imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
22 climsubmpt.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2316, 21, 22chvar 2424 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
24 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
2513, 14, 19, 24fvmptf 6443 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
269, 23, 25syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2726, 23eqeltrd 2850 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
2813nfcsb1 3697 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
29 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘
3028, 29nfel 2926 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3112, 30nfim 1977 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
32 csbeq1a 3691 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3332eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3418, 33imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
35 climsubmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3631, 34, 35chvar 2424 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
37 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
3813, 28, 32, 37fvmptf 6443 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
399, 36, 38syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4039, 36eqeltrd 2850 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
41 ovexd 6825 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V)
42 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑘
4314, 42, 28nfov 6821 . . . . 5 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
4419, 32oveq12d 6811 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
45 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))
4613, 43, 44, 45fvmptf 6443 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
479, 41, 46syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4826, 39oveq12d 6811 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4947, 48eqtr4d 2808 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)))
501, 2, 3, 7, 8, 27, 40, 49climsub 14572 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  Vcvv 3351  csb 3682   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427
This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  40411  climsubc1mpt  40412
  Copyright terms: Public domain W3C validator