Theorem climsubmpt 45583

Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsubmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climsubmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsubmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climsubmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐶 − 𝐷))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsubmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climsubmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climsubmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐶)
4	1	fvexi 6936	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
5	4	mptex 7262	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ∈ V)
7		climsubmpt.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
9		climsubmpt.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	9, 10	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
13	12	nfcsb1 3945	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
14	13	nfel1 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
15	11, 14	nfim 1895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
16		eleq1w 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
17	16	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
18		csbeq1a 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
19	18	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)))
21		climsubmpt.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	15, 20, 21	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
24	12, 13, 18, 23	fvmptf 7052	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25	8, 22, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
26	25, 22	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
27	12	nfcsb1 3945	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
28		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
29	27, 28	nfel 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
30	11, 29	nfim 1895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
31		csbeq1a 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
32	31	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
33	17, 32	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
34		climsubmpt.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
37	12, 27, 31, 36	fvmptf 7052	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
38	8, 35, 37	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
39	38, 35	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
40		ovexd 7485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ V)
41		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 −
42	13, 41, 27	nfov 7480	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
43	18, 31	oveq12d 7468	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 − 𝐵) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
44		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))
45	12, 42, 43, 44	fvmptf 7052	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
46	8, 40, 45	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
47	25, 38	oveq12d 7468	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) − ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗)) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
48	46, 47	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵))‘𝑗) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) − ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗)))
49	1, 2, 3, 6, 7, 26, 39, 48	climsub 15682	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℂcc 11184   − cmin 11522  ℤcz 12641  ℤ_≥cuz 12905   ⇝ cli 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536

This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  45584  climsubc1mpt  45585