Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubmpt 45110
Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climsubmpt.k 𝑘𝜑
climsubmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsubmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climsubmpt (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsubmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climsubmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climsubmpt.c . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
41fvexi 6905 . . . 4 𝑍 ∈ V
54mptex 7230 . . 3 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V)
7 climsubmpt.d . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
8 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
9 climsubmpt.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
119, 10nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
12 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
1312nfcsb1 3909 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
1413nfel1 2909 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
1511, 14nfim 1891 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
16 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1716anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
18 csbeq1a 3899 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1918eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2017, 19imbi12d 343 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
21 climsubmpt.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2215, 20, 21chvarfv 2228 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
23 eqid 2725 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
2412, 13, 18, 23fvmptf 7020 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
258, 22, 24syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2625, 22eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
2712nfcsb1 3909 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
28 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑘
2927, 28nfel 2907 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3011, 29nfim 1891 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 csbeq1a 3899 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3231eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3317, 32imbi12d 343 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
34 climsubmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3530, 33, 34chvarfv 2228 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
36 eqid 2725 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
3712, 27, 31, 36fvmptf 7020 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
388, 35, 37syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3938, 35eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
40 ovexd 7450 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V)
41 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘
4213, 41, 27nfov 7445 . . . . 5 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
4318, 31oveq12d 7433 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
44 eqid 2725 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))
4512, 42, 43, 44fvmptf 7020 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
468, 40, 45syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4725, 38oveq12d 7433 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4846, 47eqtr4d 2768 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)))
491, 2, 3, 6, 7, 26, 39, 48climsub 15608 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  Vcvv 3463  csb 3885   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6542  (class class class)co 7415  cc 11134  cmin 11472  cz 12586  cuz 12850  cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  45111  climsubc1mpt  45112
  Copyright terms: Public domain W3C validator