Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubmpt 45583
Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climsubmpt.k 𝑘𝜑
climsubmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsubmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climsubmpt (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsubmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climsubmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climsubmpt.c . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
41fvexi 6936 . . . 4 𝑍 ∈ V
54mptex 7262 . . 3 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V)
7 climsubmpt.d . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
8 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
9 climsubmpt.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
119, 10nfan 1898 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
12 nfcv 2908 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
1312nfcsb1 3945 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
1413nfel1 2925 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
1511, 14nfim 1895 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
16 eleq1w 2827 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1716anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
18 csbeq1a 3935 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1918eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
21 climsubmpt.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2215, 20, 21chvarfv 2241 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
23 eqid 2740 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
2412, 13, 18, 23fvmptf 7052 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
258, 22, 24syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2625, 22eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
2712nfcsb1 3945 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
28 nfcv 2908 . . . . . . 7 𝑘
2927, 28nfel 2923 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3011, 29nfim 1895 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 csbeq1a 3935 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3231eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3317, 32imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
34 climsubmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3530, 33, 34chvarfv 2241 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
36 eqid 2740 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
3712, 27, 31, 36fvmptf 7052 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
388, 35, 37syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3938, 35eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
40 ovexd 7485 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V)
41 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘
4213, 41, 27nfov 7480 . . . . 5 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
4318, 31oveq12d 7468 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
44 eqid 2740 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))
4512, 42, 43, 44fvmptf 7052 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
468, 40, 45syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4725, 38oveq12d 7468 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4846, 47eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)))
491, 2, 3, 6, 7, 26, 39, 48climsub 15682 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2108  Vcvv 3488  csb 3921   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6575  (class class class)co 7450  cc 11184  cmin 11522  cz 12641  cuz 12905  cli 15532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536
This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  45584  climsubc1mpt  45585
  Copyright terms: Public domain W3C validator