Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsubmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsubmpt 42295
Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climsubmpt.k 𝑘𝜑
climsubmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsubmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsubmpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubmpt.c (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
climsubmpt.d (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climsubmpt (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsubmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climsubmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climsubmpt.c . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) ⇝ 𝐶)
41fvexi 6663 . . . 4 𝑍 ∈ V
54mptex 6967 . . 3 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ∈ V)
7 climsubmpt.d . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
8 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
9 climsubmpt.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
119, 10nfan 1900 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
12 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
1312nfcsb1 3854 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
1413nfel1 2974 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
1511, 14nfim 1897 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
16 eleq1w 2875 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1716anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
18 csbeq1a 3845 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1918eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
2017, 19imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
21 climsubmpt.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2215, 20, 21chvarfv 2241 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
23 eqid 2801 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
2412, 13, 18, 23fvmptf 6770 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
258, 22, 24syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2625, 22eqeltrd 2893 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
2712nfcsb1 3854 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
28 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑘
2927, 28nfel 2972 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3011, 29nfim 1897 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 csbeq1a 3845 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3231eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3317, 32imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
34 climsubmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3530, 33, 34chvarfv 2241 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
36 eqid 2801 . . . . 5 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
3712, 27, 31, 36fvmptf 6770 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
388, 35, 37syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3938, 35eqeltrd 2893 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗) ∈ ℂ)
40 ovexd 7174 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V)
41 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑘
4213, 41, 27nfov 7169 . . . . 5 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
4318, 31oveq12d 7157 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
44 eqid 2801 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))
4512, 42, 43, 44fvmptf 6770 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
468, 40, 45syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4725, 38oveq12d 7157 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
4846, 47eqtr4d 2839 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵))‘𝑗) = (((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) − ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑗)))
491, 2, 3, 6, 7, 26, 39, 48climsub 14986 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴𝐵)) ⇝ (𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  Vcvv 3444  csb 3831   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cmin 10863  cz 11973  cuz 12235  cli 14837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841
This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  42296  climsubc1mpt  42297
  Copyright terms: Public domain W3C validator