Theorem climconstmpt 42828

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconstmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconstmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconstmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climconstmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climconstmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5600	. 2 ⊢ (𝑍 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2		climconstmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		climconstmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climconstmpt.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
6		ssid 3913	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
7	5, 6	eqsstri 3925	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
8	4	fvexi 6720	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	7, 8	climconst2 15092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10	2, 3, 9	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	1, 10	eqbrtrrid 5079	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {csn 4531   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124   × cxp 5538  ‘cfv 6369  ℂcc 10710  ℤcz 12159  ℤ_≥cuz 12421   ⇝ cli 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-seq 13558  df-exp 13619  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-clim 15032

This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  42831  climsubc1mpt  42832