Theorem climconstmpt 41316

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconstmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climconstmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climconstmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climconstmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climconstmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5457	. 2 ⊢ (𝑍 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
2		climconstmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		climconstmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climconstmpt.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	eqcomi 2781	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
6		ssid 3875	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
7	5, 6	eqsstri 3887	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
8	4	fvexi 6507	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	7, 8	climconst2 14756	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10	2, 3, 9	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	1, 10	syl5eqbrr 4959	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {csn 4435   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   × cxp 5398  ‘cfv 6182  ℂcc 10325  ℤcz 11786  ℤ_≥cuz 12051   ⇝ cli 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696

This theorem is referenced by:  climsubc2mpt  41319  climsubc1mpt  41320