Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climuz 40489
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climuz.k 𝑘𝐹
climuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climuz.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
climuz (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climuz.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climuz.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climuz.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
41, 2, 3climuzlem 40488 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦)))
5 breq2 4791 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
65ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
76rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
8 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
98raleqdv 3293 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
10 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘abs
11 climuz.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
12 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑙
1311, 12nffv 6341 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹𝑙)
14 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
15 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝐴
1613, 14, 15nfov 6825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝐹𝑙) − 𝐴)
1710, 16nffv 6341 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴))
18 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 <
19 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥
2017, 18, 19nfbr 4834 . . . . . . . . . . 11 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥
21 nfv 1995 . . . . . . . . . . 11 𝑙(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
22 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
2322fvoveq1d 6818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2423breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2520, 21, 24cbvral 3316 . . . . . . . . . 10 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
279, 26bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2827cbvrexv 3321 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
307, 29bitrd 268 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3130cbvralv 3320 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
3231anbi2i 609 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3332a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
344, 33bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4787  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140   < clt 10280  cmin 10472  cz 11584  cuz 11893  +crp 12035  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-neg 10475  df-z 11585  df-uz 11894  df-clim 14427
This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  40552  climxlim2lem  40584
  Copyright terms: Public domain W3C validator