Theorem climuz 46848

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climuz.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climuz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climuz

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climuz.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climuz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climuz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4	1, 2, 3	climuzlem 46847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦)))
5		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
6	5	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
7	6	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
8		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
9	8	raleqdv 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
10		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘abs
11		climuz.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
12		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
13	11, 12	nffv 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
14		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 −
15		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
16	13, 14, 15	nfov 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)
17	10, 16	nffv 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴))
18		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 <
19		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	17, 18, 19	nfbr 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥
21		nfv 1946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
22		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
23	22	fvoveq1d 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
25	20, 21, 24	cbvralw 3304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
27	9, 26	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
28	27	cbvrexvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
30	7, 29	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
31	30	cbvralvw 3240	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
32	31	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
33	32	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
34	4, 33	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   < clt 11347   − cmin 11545  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  abscabs 15407   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-neg 11548  df-z 12698  df-uz 12970  df-clim 15661

This theorem is used by:  liminflimsupclim  46911  climxlim2lem  46949