Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climuz 43333
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climuz.k β„²π‘˜πΉ
climuz.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climuz.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climuz.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
climuz (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem climuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climuz.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 climuz.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 climuz.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
41, 2, 3climuzlem 43332 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
5 breq2 5085 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
65ralbidv 3171 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
76rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
8 fveq2 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
98raleqdv 3360 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
10 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜abs
11 climuz.k . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜πΉ
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘™
1311, 12nffv 6810 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
14 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ βˆ’
15 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜π΄
1613, 14, 15nfov 7333 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)
1710, 16nffv 6810 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴))
18 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜ <
19 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜π‘₯
2017, 18, 19nfbr 5128 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯
21 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯
22 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
2322fvoveq1d 7325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2423breq1d 5091 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
2520, 21, 24cbvralw 3385 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
279, 26bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
2827cbvrexvw 3223 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
307, 29bitrd 280 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
3130cbvralvw 3222 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
3231anbi2i 624 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
3332a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘™) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
344, 33bitrd 280 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2885  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5081  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  β„‚cc 10911   < clt 11051   βˆ’ cmin 11247  β„€cz 12361  β„€β‰₯cuz 12624  β„+crp 12772  abscabs 14986   ⇝ cli 15234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-po 5510  df-so 5511  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-neg 11250  df-z 12362  df-uz 12625  df-clim 15238
This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  43396  climxlim2lem  43434
  Copyright terms: Public domain W3C validator