Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climuz 44394
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climuz.k 𝑘𝐹
climuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climuz.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
climuz (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climuz.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climuz.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climuz.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
41, 2, 3climuzlem 44393 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦)))
5 breq2 5150 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
65ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
76rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
8 fveq2 6887 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
98raleqdv 3326 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
10 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘abs
11 climuz.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
12 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑙
1311, 12nffv 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹𝑙)
14 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝐴
1613, 14, 15nfov 7433 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝐹𝑙) − 𝐴)
1710, 16nffv 6897 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴))
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 <
19 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥
2017, 18, 19nfbr 5193 . . . . . . . . . . 11 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥
21 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑙(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
22 fveq2 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
2322fvoveq1d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2423breq1d 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2520, 21, 24cbvralw 3304 . . . . . . . . . 10 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
279, 26bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2827cbvrexvw 3236 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
307, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3130cbvralvw 3235 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
3231anbi2i 624 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3332a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
344, 33bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5146  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  cc 11103   < clt 11243  cmin 11439  cz 12553  cuz 12817  +crp 12969  abscabs 15176  cli 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-neg 11442  df-z 12554  df-uz 12818  df-clim 15427
This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  44457  climxlim2lem  44495
  Copyright terms: Public domain W3C validator