Theorem climuz 44759

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climuz.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climuz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climuz.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climuz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climuz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climuz

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climuz.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climuz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climuz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
4	1, 2, 3	climuzlem 44758	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦)))
5		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
6	5	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
7	6	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
8		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
9	8	raleqdv 3325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥))
10		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘abs
11		climuz.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
12		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
13	11, 12	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
14		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 −
15		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
16	13, 14, 15	nfov 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)
17	10, 16	nffv 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴))
18		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 <
19		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	17, 18, 19	nfbr 5195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥
21		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑙(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
22		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
23	22	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
24	23	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
25	20, 21, 24	cbvralw 3303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
27	9, 26	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
28	27	cbvrexvw 3235	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
30	7, 29	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
31	30	cbvralvw 3234	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
32	31	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
33	32	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑙) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
34	4, 33	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   < clt 11252   − cmin 11448  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ℝ⁺crp 12978  abscabs 15185   ⇝ cli 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-clim 15436

This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  44822  climxlim2lem  44860