Theorem liminflimsupclim 45778

Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 45756). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupclim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupclim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15434	. . 3 ⊢ Rel ⇝
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
3		liminflimsupclim.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflimsupclim.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	7	limsupcld 45661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		liminflimsupclim.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		liminflimsupclim.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12		liminflimsupclim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	3	frexr 45354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	12, 4, 13	liminflelimsupuz 45756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
15	8, 10, 11, 14	xrletrid 13091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
16	15, 9	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23	18, 19, 4, 20, 21, 22	liminflt 45776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
24	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
25	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26	4	uztrn2 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	24, 29, 32	ltsubadd2d 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
35	28	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	15	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
37	36, 17	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
39	35, 38	negsubdi2d 11525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)))
40	39	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
41	40	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
42	41	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
43	29, 24	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44		ltnegcon1 11655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
45	43, 32, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
46	42, 45	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
47	36	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
48	47	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
49	48	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
50	34, 46, 49	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
51	50	ralbidva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
52	51	rexbidva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
53	23, 52	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
54	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
55	18, 19, 4, 20, 54, 22	limsupgt 45749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
56	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57		ltsub23 11634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
58	29, 32, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
59	58	ralbidva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
60	59	rexbidva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
61	55, 60	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
62	53, 61	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
63	4	rexanuz2 15292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
66		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67	26	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
69	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
70	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
71	69, 70	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
72	71	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
73	31	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74		abslt 15257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
77	68, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
78	77	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
79	65, 66, 67, 78	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
80	79	ralimdva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
81	80	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
82	64, 81	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
83	82	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
84	17, 83	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85		ax-resscn 11101	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	3, 86	fssd 6687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
88	18, 12, 4, 87	climuz 45715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
89	84, 88	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90		releldm 5897	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
91	2, 89, 90	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  abscabs 15176  lim supclsp 15412   ⇝ cli 15426  lim infclsi 45722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-liminf 45723

This theorem is referenced by:  climliminflimsup  45779  climliminflimsup2  45780