Theorem liminflimsupclim 45993

Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 45971). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupclim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupclim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15413	. . 3 ⊢ Rel ⇝
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
3		liminflimsupclim.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflimsupclim.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	7	limsupcld 45876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		liminflimsupclim.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		liminflimsupclim.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12		liminflimsupclim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	3	frexr 45571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	12, 4, 13	liminflelimsupuz 45971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
15	8, 10, 11, 14	xrletrid 13067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
16	15, 9	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18		nfcv 2896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23	18, 19, 4, 20, 21, 22	liminflt 45991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
24	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
25	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26	4	uztrn2 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31		rpre 12912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	24, 29, 32	ltsubadd2d 11733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
35	28	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	15	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
37	36, 17	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
39	35, 38	negsubdi2d 11506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)))
40	39	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
41	40	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
42	41	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
43	29, 24	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44		ltnegcon1 11636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
45	43, 32, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
46	42, 45	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
47	36	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
48	47	breq2d 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
49	48	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
50	34, 46, 49	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
51	50	ralbidva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
52	51	rexbidva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
53	23, 52	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
54	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
55	18, 19, 4, 20, 54, 22	limsupgt 45964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
56	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57		ltsub23 11615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
58	29, 32, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
59	58	ralbidva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
60	59	rexbidva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
61	55, 60	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
62	53, 61	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
63	4	rexanuz2 15271	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
66		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67	26	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
69	3	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
70	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
71	69, 70	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
72	71	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
73	31	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74		abslt 15236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
77	68, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
78	77	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
79	65, 66, 67, 78	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
80	79	ralimdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
81	80	reximdva 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
82	64, 81	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
83	82	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
84	17, 83	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85		ax-resscn 11081	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	3, 86	fssd 6677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
88	18, 12, 4, 87	climuz 45930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
89	84, 88	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90		releldm 5891	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
91	2, 89, 90	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Rel wrel 5627  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  -cneg 11363  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155  lim supclsp 15391   ⇝ cli 15405  lim infclsi 45937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-ceil 13711  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-liminf 45938

This theorem is referenced by:  climliminflimsup  45994  climliminflimsup2  45995