Theorem liminflimsupclim 46256

Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 46234). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupclim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupclim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15448	. . 3 ⊢ Rel ⇝
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
3		liminflimsupclim.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflimsupclim.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	7	limsupcld 46139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		liminflimsupclim.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11189	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		liminflimsupclim.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12		liminflimsupclim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	3	frexr 45835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	12, 4, 13	liminflelimsupuz 46234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
15	8, 10, 11, 14	xrletrid 13100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
16	15, 9	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
21	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23	18, 19, 4, 20, 21, 22	liminflt 46254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
24	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
25	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26	4	uztrn2 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31		rpre 12945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	24, 29, 32	ltsubadd2d 11742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
35	28	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	15	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
37	36, 17	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
38	37	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
39	35, 38	negsubdi2d 11515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)))
40	39	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
41	40	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
42	41	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
43	29, 24	resubcld 11572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44		ltnegcon1 11645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
45	43, 32, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
46	42, 45	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
47	36	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
48	47	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
49	48	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
50	34, 46, 49	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
51	50	ralbidva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
52	51	rexbidva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
53	23, 52	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
54	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
55	18, 19, 4, 20, 54, 22	limsupgt 46227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
56	54	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57		ltsub23 11624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
58	29, 32, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
59	58	ralbidva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
60	59	rexbidva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
61	55, 60	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
62	53, 61	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
63	4	rexanuz2 15306	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
66		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67	26	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
69	3	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
70	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
71	69, 70	resubcld 11572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
72	71	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
73	31	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74		abslt 15271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
77	68, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
78	77	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
79	65, 66, 67, 78	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
80	79	ralimdva 3150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
81	80	reximdva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
82	64, 81	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
83	82	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
84	17, 83	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85		ax-resscn 11089	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	3, 86	fssd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
88	18, 12, 4, 87	climuz 46193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
89	84, 88	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90		releldm 5894	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
91	2, 89, 90	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  Rel wrel 5630  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  -cneg 11372  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190  lim supclsp 15426   ⇝ cli 15440  lim infclsi 46200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-ceil 13746  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-liminf 46201

This theorem is referenced by:  climliminflimsup  46257  climliminflimsup2  46258