Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupclim 44523
Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 44501). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupclim.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminflimsupclim.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminflimsupclim.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
liminflimsupclim.4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
Assertion
Ref Expression
liminflimsupclim (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15436 . . 3 Rel ⇝
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Rel ⇝ )
3 liminflimsupclim.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
4 liminflimsupclim.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
54fvexi 6906 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
73, 6fexd 7229 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
87limsupcld 44406 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 liminflimsupclim.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
11 liminflimsupclim.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
12 liminflimsupclim.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
133frexr 44095 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1412, 4, 13liminflelimsupuz 44501 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
158, 10, 11, 14xrletrid 13134 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1615, 9eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1716recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜πΉ
1912adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
203adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
219adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
22 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2318, 19, 4, 20, 21, 22liminflt 44521 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯))
2421ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
253ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
264uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2726adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2825, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2928adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3022ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
31 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3324, 29, 32ltsubadd2d 11812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ (lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯)))
3433bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯) ↔ ((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
3528recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3615eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
3736, 17eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
3935, 38negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ -((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) = ((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
4039breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (-((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) < π‘₯ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4140adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (-((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) < π‘₯ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4241bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ -((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) < π‘₯))
4329, 24resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) ∈ ℝ)
44 ltnegcon1 11715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) < π‘₯ ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ))))
4543, 32, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (-((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) < π‘₯ ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ))))
4642, 45bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((lim infβ€˜πΉ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ))))
4736oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)))
4847breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))))
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim infβ€˜πΉ)) ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))))
5034, 46, 493bitrd 305 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯) ↔ -π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))))
5150ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))))
5251rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))))
5323, 52mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)))
5416adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
5518, 19, 4, 20, 54, 22limsupgt 44494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ π‘₯) < (lim supβ€˜πΉ))
5654ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
57 ltsub23 11694 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ π‘₯) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
5829, 32, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ π‘₯) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
5958ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ π‘₯) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
6059rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ π‘₯) < (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
6155, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)
6253, 61jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
634rexanuz2 15296 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
6462, 63sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
65 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
66 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6726adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
68 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)) β†’ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯))
693ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7016adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∈ ℝ)
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∈ ℝ)
7331ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
74 abslt 15261 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)))
7572, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)))
7768, 76mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯)
7877ex 414 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯))
7965, 66, 67, 78syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯))
8079ralimdva 3168 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯))
8180reximdva 3169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(-π‘₯ < ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯))
8264, 81mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯)
8382ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯)
8417, 83jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯))
85 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
8685a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
873, 86fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
8818, 12, 4, 87climuz 44460 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < π‘₯)))
8984, 88mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
90 releldm 5944 . 2 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
912, 89, 90syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181  lim supclsp 15414   ⇝ cli 15428  lim infclsi 44467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-liminf 44468
This theorem is referenced by:  climliminflimsup  44524  climliminflimsup2  44525
  Copyright terms: Public domain W3C validator