Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupclim 45762
Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 45740). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupclim.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflimsupclim.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
liminflimsupclim (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15524 . . 3 Rel ⇝
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Rel ⇝ )
3 liminflimsupclim.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 liminflimsupclim.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6920 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ V)
73, 6fexd 7246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
87limsupcld 45645 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9 liminflimsupclim.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
109rexrd 11308 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 liminflimsupclim.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12 liminflimsupclim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
133frexr 45334 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1412, 4, 13liminflelimsupuz 45740 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
158, 10, 11, 14xrletrid 13193 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1615, 9eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1716recnd 11286 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
1912adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
203adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2318, 19, 4, 20, 21, 22liminflt 45760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥))
2421ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
253ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
264uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2726adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2825, 27ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3022ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3324, 29, 32ltsubadd2d 11858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
3433bicomd 223 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
3528recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3615eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
3736, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3837ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
3935, 38negsubdi2d 11633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)))
4039breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4140adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥))
4241bicomd 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
4329, 24resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44 ltnegcon1 11761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4543, 32, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4642, 45bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
4736oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
4847breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
4948ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5034, 46, 493bitrd 305 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5150ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5251rexbidva 3174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
5323, 52mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
5416adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5518, 19, 4, 20, 54, 22limsupgt 45733 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
5654ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57 ltsub23 11740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5829, 32, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
5958ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6059rexbidva 3174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6155, 60mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
6253, 61jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
634rexanuz2 15384 . . . . . . 7 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
6462, 63sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
66 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6726adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
693ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7016adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7271adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
7331ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74 abslt 15349 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7572, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
7768, 76mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
7877ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
7965, 66, 67, 78syl21anc 838 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8079ralimdva 3164 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8180reximdva 3165 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(-𝑥 < ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
8264, 81mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8382ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
8417, 83jca 511 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85 ax-resscn 11209 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
873, 86fssd 6753 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
8818, 12, 4, 87climuz 45699 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
8984, 88mpbird 257 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90 releldm 5957 . 2 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
912, 89, 90syl2anc 584 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  Rel wrel 5693  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  lim supclsp 15502  cli 15516  lim infclsi 45706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-liminf 45707
This theorem is referenced by:  climliminflimsup  45763  climliminflimsup2  45764
  Copyright terms: Public domain W3C validator