Theorem liminflimsupclim 46549

Description: A sequence of real numbers converges if its inferior limit is real, and it is greater than or equal to the superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminflelimsupuz 46527). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupclim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupclim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupclim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflimsupclim.4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflimsupclim.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupclim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem liminflimsupclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15550	. . 3 ⊢ Rel ⇝
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
3		liminflimsupclim.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflimsupclim.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
7	3, 6	fexd 7225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8	7	limsupcld 46432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		liminflimsupclim.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		liminflimsupclim.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
12		liminflimsupclim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	3	frexr 46128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
14	12, 4, 13	liminflelimsupuz 46527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
15	8, 10, 11, 14	xrletrid 13186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
16	15, 9	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
18		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19	12	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
21	9	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
22		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23	18, 19, 4, 20, 21, 22	liminflt 46547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥))
24	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
25	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26	4	uztrn2 12887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	25, 27	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
31		rpre 13031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	24, 29, 32	ltsubadd2d 11818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥)))
34	33	bicomd 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
35	28	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	15	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
37	36, 17	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
38	37	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
39	35, 38	negsubdi2d 11591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)))
40	39	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
41	40	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ ((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
42	41	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥))
43	29, 24	resubcld 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ)
44		ltnegcon1 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
45	43, 32, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
46	42, 45	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((lim inf‘𝐹) − (𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹))))
47	36	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) = ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
48	47	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
49	48	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim inf‘𝐹)) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
50	34, 46, 49	3bitrd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ -𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
51	50	ralbidva 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
52	51	rexbidva 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))))
53	23, 52	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)))
54	16	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
55	18, 19, 4, 20, 54, 22	limsupgt 46520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹))
56	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
57		ltsub23 11700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
58	29, 32, 56, 57	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
59	58	ralbidva 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
60	59	rexbidva 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑥) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
61	55, 60	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)
62	53, 61	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
63	4	rexanuz2 15408	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
64	62, 63	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
65		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
66		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67	26	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
68		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥))
69	3	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
70	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
71	69, 70	resubcld 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
72	71	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
73	31	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
74		abslt 15373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
75	72, 73, 74	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
76	75	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)))
77	68, 76	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
78	77	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
79	65, 66, 67, 78	syl21anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
80	79	ralimdva 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
81	80	reximdva 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(-𝑥 < ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) ∧ ((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
82	64, 81	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
83	82	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)
84	17, 83	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥))
85		ax-resscn 11163	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	3, 86	fssd 6723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
88	18, 12, 4, 87	climuz 46486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑥)))
89	84, 88	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
90		releldm 5933	. 2 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
91	2, 89, 90	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  Rel wrel 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  -cneg 11448  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ℝ⁺crp 13022  abscabs 15292  lim supclsp 15528   ⇝ cli 15542  lim infclsi 46493

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-liminf 46494

This theorem is used by:  climliminflimsup  46550  climliminflimsup2  46551