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Theorem climuzlem 40545
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climuzlem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climuzlem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climuzlem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
climuzlem (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem climuzlem
StepHypRef Expression
1 climcl 14516 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
21adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝐹𝐴)
4 climrel 14509 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
54brrelex1i 5327 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
6 eqidd 2765 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
75, 6clim 14511 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
83, 7mpbid 223 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
98simprd 489 . . . . 5 (𝐹𝐴 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
109adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
12 climuzlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 climuzlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
1413rexuz3 14374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
1711, 16mpbird 248 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
1918ralimi 3098 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2019reximi 3156 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2217, 21mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
2322ex 401 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2423adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2524ralimdva 3108 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2625adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
2710, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
282, 27jca 507 . 2 ((𝜑𝐹𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
29 simprl 787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑗𝜑
31 nfre1 3150 . . . . . . . 8 𝑗𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
3213uzssz2 40254 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 ⊆ ℤ
3332sseli 3756 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
34333ad2ant2 1164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
3613uztrn2 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3736adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
38 climuzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4035, 37, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
42 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
4341, 42jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4443ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
4544ralimdva 3108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
46453impia 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
47 rspe 3148 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4834, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
49483exp 1148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5030, 31, 49rexlimd 3172 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
5150ralimdv 3109 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
5251imp 395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
5352adantrl 707 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
5429, 53jca 507 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
5513fvexi 6388 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
5655a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
5738, 56fexd 39878 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
58 eqidd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5957, 58clim 14511 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
6059adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
6154, 60mpbird 248 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) → 𝐹𝐴)
6228, 61impbida 835 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3349   class class class wbr 4808  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186   < clt 10327  cmin 10519  cz 11623  cuz 11885  +crp 12027  abscabs 14260  cli 14501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-po 5197  df-so 5198  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-ov 6844  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-neg 10522  df-z 11624  df-uz 11886  df-clim 14505
This theorem is referenced by:  climuz  40546
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