Theorem cvlatcvr2 40215

Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatcvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlatcvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlatcvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlatcvr2	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlatcvr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlatcvr1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		cvlatcvr1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		cvlatcvr1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvlatcvr1 40214	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
5		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
6		cvllat 40199	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 3	atbase 40162	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 3	atbase 40162	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12	11	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
13	8, 1	latjcom 18535	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
14	7, 10, 12, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
15	14	breq2d 5115	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑃)))
16	4, 15	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  joincjn 18399  Latclat 18519  CLatccla 18586  OMLcoml 40048   ⋖ ccvr 40135  Atomscatm 40136  CvLatclc 40138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195

This theorem is used by:  atcvr2  40291