Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexchb2 38661
Description: A version of cvlexchb2 38657 for atoms. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l = (le‘𝐾)
cvlatexch.j = (join‘𝐾)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatexchb2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem cvlatexchb2
StepHypRef Expression
1 cvlatexch.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cvlatexch.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cvlatexch.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3cvlatexchb1 38660 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
5 cvllat 38652 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑄𝐴)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
98, 3atbase 38615 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑅𝐴)
128, 3atbase 38615 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
148, 2latjcom 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
156, 10, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
1615breq2d 5150 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
17 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑃𝐴)
188, 3atbase 38615 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
208, 2latjcom 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
216, 19, 13, 20syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
2221, 15eqeq12d 2740 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
234, 16, 223bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  Latclat 18385  Atomscatm 38589  CvLatclc 38591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-lat 18386  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648
This theorem is referenced by:  cvlatexch3  38664  cvlsupr2  38669  cvlsupr7  38674  hlatexchb2  38721
  Copyright terms: Public domain W3C validator