Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexchb2 38731
Description: A version of cvlexchb2 38727 for atoms. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlatexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlatexchb2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem cvlatexchb2
StepHypRef Expression
1 cvlatexch.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cvlatexch.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cvlatexch.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3cvlatexchb1 38730 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
5 cvllat 38722 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
653ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp22 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
8 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
98, 3atbase 38685 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp23 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
128, 3atbase 38685 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 2latjcom 18424 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
156, 10, 13, 14syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
1615breq2d 5154 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄)))
17 simp21 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
188, 3atbase 38685 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
208, 2latjcom 18424 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
216, 19, 13, 20syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
2221, 15eqeq12d 2743 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
234, 16, 223bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  Latclat 18408  Atomscatm 38659  CvLatclc 38661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-lat 18409  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718
This theorem is referenced by:  cvlatexch3  38734  cvlsupr2  38739  cvlsupr7  38744  hlatexchb2  38791
  Copyright terms: Public domain W3C validator