Theorem cvlatexch1 40000

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlatexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlatexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlatexch1	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlatexch.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cvlatexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvlatexch.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvlatexchb1 39998	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
5		cvllat 39990	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp23 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 3	atbase 39953	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp22 1224	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	8, 3	atbase 39953	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14	8, 1, 2	latlej2 18505	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
16		breq2 5117	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
17	15, 16	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
18	4, 17	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  joincjn 18367  Latclat 18487  Atomscatm 39927  CvLatclc 39929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-lat 18488  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986

This theorem is referenced by:  cvlatexch2  40001  cvlsupr2  40007  hlatexch1  40059  4atex  40740  cdleme20zN  40965  cdleme19a  40967  cdleme21b  40990  cdleme21c  40991  cdleme22g  41012  cdlemf1  41225