Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexch1 37844
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlatexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlatexch1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlatexch1
StepHypRef Expression
1 cvlatexch.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cvlatexch.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cvlatexch.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3cvlatexchb1 37842 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
5 cvllat 37834 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
653ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp23 1209 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
98, 3atbase 37797 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp22 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
128, 3atbase 37797 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 1, 2latlej2 18343 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄))
156, 10, 13, 14syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄))
16 breq2 5110 . . 3 ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ (𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄)))
1715, 16syl5ibrcom 247 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))
184, 17sylbid 239 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830
This theorem is referenced by:  cvlatexch2  37845  cvlsupr2  37851  hlatexch1  37904  4atex  38585  cdleme20zN  38810  cdleme19a  38812  cdleme21b  38835  cdleme21c  38836  cdleme22g  38857  cdlemf1  39070
  Copyright terms: Public domain W3C validator