Theorem cvlatexch1 40393

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlatexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlatexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlatexch1	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlatexch.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cvlatexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvlatexch.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvlatexchb1 40391	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
5		cvllat 40383	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 3	atbase 40346	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	8, 3	atbase 40346	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14	8, 1, 2	latlej2 18623	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
16		breq2 5107	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
17	15, 16	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
18	4, 17	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  Latclat 18605  Atomscatm 40320  CvLatclc 40322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379

This theorem is used by:  cvlatexch2  40394  cvlsupr2  40400  hlatexch1  40452  4atex  41133  cdleme20zN  41358  cdleme19a  41360  cdleme21b  41383  cdleme21c  41384  cdleme22g  41405  cdlemf1  41618