Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexch3 38865
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvlatexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlatexch3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem cvlatexch3
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 cvlatexch.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cvlatexch.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cvlatexch.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8cvlatexchb1 38861 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl131anc 1380 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
1110biimpa 475 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅))
12 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
13 cvllat 38853 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 simpl21 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
16 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1716, 8atbase 38816 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1815, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 simpl22 1249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2016, 8atbase 38816 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2216, 7latjcom 18436 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
2314, 18, 21, 22syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
246, 7, 8cvlatexchb2 38862 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
25243adant3l 1177 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
2625biimpa 475 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
2711, 23, 263eqtr4d 2775 . 2 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑅))
2827ex 411 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 β‰  𝑅)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  Latclat 18420  Atomscatm 38790  CvLatclc 38792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849
This theorem is referenced by:  cdleme21ct  39857
  Copyright terms: Public domain W3C validator