Theorem cvrp 38754

Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32063 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrp.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrp.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrp.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvrp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrp	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 38693	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrp.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cvrp.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cvrp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		cvrp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		cvrp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cvlcvrp 38677	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  joincjn 18274  meetcmee 18275  0.cp0 18386  CLatccla 18461  OMLcoml 38512   ⋖ ccvr 38599  Atomscatm 38600  CvLatclc 38602  HLchlt 38687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688

This theorem is referenced by:  atcvrj1  38769