Theorem cvrp 39615

Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32399 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrp.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrp.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrp.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvrp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrp	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 39555	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrp.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cvrp.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cvrp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		cvrp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		cvrp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cvlcvrp 39539	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  meetcmee 18233  0.cp0 18342  CLatccla 18419  OMLcoml 39374   ⋖ ccvr 39461  Atomscatm 39462  CvLatclc 39464  HLchlt 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550

This theorem is referenced by:  atcvrj1  39630