Theorem cvrp 39905

Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32467 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrp.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrp.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrp.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvrp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrp	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 39845	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrp.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cvrp.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cvrp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		cvrp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		cvrp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cvlcvrp 39829	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
9	1, 8	syl3an1 1165	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5075  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17173  joincjn 18271  meetcmee 18272  0.cp0 18381  CLatccla 18458  OMLcoml 39664   ⋖ ccvr 39751  Atomscatm 39752  CvLatclc 39754  HLchlt 39839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39665  df-ol 39667  df-oml 39668  df-covers 39755  df-ats 39756  df-atl 39787  df-cvlat 39811  df-hlat 39840

This theorem is referenced by:  atcvrj1  39920