Theorem cvp 30835

Description: The Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cvp	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem cvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 30804	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		chincl 29959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
4		atcveq0 30808	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
5	3, 4	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6		cvexch 30834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
7	1, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
8	5, 7	bitr3d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1538   ∈ wcel 2103   ∩ cin 3890   class class class wbr 5080  (class class class)co 7308   C_ℋ cch 29389   ∨_ℋ chj 29393  0_ℋc0h 29395   ⋖_ℋ ccv 29424  HAtomscat 29425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-inf2 9457  ax-cc 10251  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008  ax-pre-sup 11009  ax-addf 11010  ax-mulf 11011  ax-hilex 29459  ax-hfvadd 29460  ax-hvcom 29461  ax-hvass 29462  ax-hv0cl 29463  ax-hvaddid 29464  ax-hfvmul 29465  ax-hvmulid 29466  ax-hvmulass 29467  ax-hvdistr1 29468  ax-hvdistr2 29469  ax-hvmul0 29470  ax-hfi 29539  ax-his1 29542  ax-his2 29543  ax-his3 29544  ax-his4 29545  ax-hcompl 29662

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4844  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-of 7566  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-supp 8013  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-2o 8333  df-oadd 8336  df-omul 8337  df-er 8534  df-map 8653  df-pm 8654  df-ixp 8722  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-fsupp 9187  df-fi 9228  df-sup 9259  df-inf 9260  df-oi 9327  df-card 9755  df-acn 9758  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-div 11693  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-z 12380  df-dec 12498  df-uz 12643  df-q 12749  df-rp 12791  df-xneg 12908  df-xadd 12909  df-xmul 12910  df-ioo 13143  df-ico 13145  df-icc 13146  df-fz 13300  df-fzo 13443  df-fl 13572  df-seq 13782  df-exp 13843  df-hash 14105  df-cj 14869  df-re 14870  df-im 14871  df-sqrt 15005  df-abs 15006  df-clim 15256  df-rlim 15257  df-sum 15457  df-struct 16907  df-sets 16924  df-slot 16942  df-ndx 16954  df-base 16972  df-ress 17001  df-plusg 17034  df-mulr 17035  df-starv 17036  df-sca 17037  df-vsca 17038  df-ip 17039  df-tset 17040  df-ple 17041  df-ds 17043  df-unif 17044  df-hom 17045  df-cco 17046  df-rest 17192  df-topn 17193  df-0g 17211  df-gsum 17212  df-topgen 17213  df-pt 17214  df-prds 17217  df-xrs 17272  df-qtop 17277  df-imas 17278  df-xps 17280  df-mre 17354  df-mrc 17355  df-acs 17357  df-mgm 18385  df-sgrp 18434  df-mnd 18445  df-submnd 18490  df-mulg 18760  df-cntz 18982  df-cmn 19447  df-psmet 20652  df-xmet 20653  df-met 20654  df-bl 20655  df-mopn 20656  df-fbas 20657  df-fg 20658  df-cnfld 20661  df-top 22106  df-topon 22123  df-topsp 22145  df-bases 22159  df-cld 22233  df-ntr 22234  df-cls 22235  df-nei 22312  df-cn 22441  df-cnp 22442  df-lm 22443  df-haus 22529  df-tx 22776  df-hmeo 22969  df-fil 23060  df-fm 23152  df-flim 23153  df-flf 23154  df-xms 23536  df-ms 23537  df-tms 23538  df-cfil 24482  df-cau 24483  df-cmet 24484  df-grpo 28953  df-gid 28954  df-ginv 28955  df-gdiv 28956  df-ablo 29005  df-vc 29019  df-nv 29052  df-va 29055  df-ba 29056  df-sm 29057  df-0v 29058  df-vs 29059  df-nmcv 29060  df-ims 29061  df-dip 29161  df-ssp 29182  df-ph 29273  df-cbn 29323  df-hnorm 29428  df-hba 29429  df-hvsub 29431  df-hlim 29432  df-hcau 29433  df-sh 29667  df-ch 29681  df-oc 29712  df-ch0 29713  df-shs 29768  df-span 29769  df-chj 29770  df-chsup 29771  df-pjh 29855  df-cv 30739  df-at 30798

This theorem is referenced by:  atnssm0  30836  atcv0eq  30839  atexch  30841  atcvatlem  30845  atdmd  30858  atmd2  30860