Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlcvrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlcvrp 37354
Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 30737 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvrp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvrp.j = (join‘𝐾)
cvlcvrp.m = (meet‘𝐾)
cvlcvrp.z 0 = (0.‘𝐾)
cvlcvrp.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvrp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvrp (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvrp
StepHypRef Expression
1 simp13 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 37340 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvrp.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvrp.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 37303 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvrp.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
105, 9latmcom 18181 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
113, 4, 8, 10syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
1211eqeq1d 2740 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
13 cvlatl 37339 . . . 4 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
141, 13syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
15 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
16 eqid 2738 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17 cvlcvrp.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
185, 16, 9, 17, 6atnle 37331 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
1914, 15, 4, 18syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
20 cvlcvrp.j . . 3 = (join‘𝐾)
21 cvlcvrp.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
225, 16, 20, 21, 6cvlcvr1 37353 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
2312, 19, 223bitr2d 307 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  meetcmee 18030  0.cp0 18141  Latclat 18149  CLatccla 18216  OMLcoml 37189  ccvr 37276  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278  CvLatclc 37279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336
This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  37355  cvrp  37430
  Copyright terms: Public domain W3C validator