Theorem cvlcvrp 39912

Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32517 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlcvrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvrp.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlcvrp.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvlcvrp.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvlcvrp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvrp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlcvrp	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvllat 39898	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cvlcvrp.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvlcvrp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39861	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant3 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvlcvrp.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	5, 9	latmcom 18471	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
11	3, 4, 8, 10	syl3anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
12	11	eqeq1d 2758	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
13		cvlatl 39897	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
15		simp3 1147	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17		cvlcvrp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	5, 16, 9, 17, 6	atnle 39889	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
19	14, 15, 4, 18	syl3anc 1386	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
20		cvlcvrp.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
21		cvlcvrp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
22	5, 16, 20, 21, 6	cvlcvr1 39911	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
23	12, 19, 22	3bitr2d 309	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  lecple 17269  joincjn 18319  meetcmee 18320  0.cp0 18429  Latclat 18439  CLatccla 18506  OMLcoml 39747   ⋖ ccvr 39834  Atomscatm 39835  AtLatcal 39836  CvLatclc 39837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-lub 18352  df-glb 18353  df-join 18354  df-meet 18355  df-p0 18431  df-lat 18440  df-clat 18507  df-oposet 39748  df-ol 39750  df-oml 39751  df-covers 39838  df-ats 39839  df-atl 39870  df-cvlat 39894

This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  39913  cvrp  39988