Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlcvrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlcvrp 35414
Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 29785 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlcvrp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvrp.j = (join‘𝐾)
cvlcvrp.m = (meet‘𝐾)
cvlcvrp.z 0 = (0.‘𝐾)
cvlcvrp.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvrp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlcvrp (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvrp
StepHypRef Expression
1 simp13 1266 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvllat 35400 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1171 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑋𝐵)
5 cvlcvrp.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cvlcvrp.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35363 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant3 1169 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
9 cvlcvrp.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
105, 9latmcom 17435 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
113, 4, 8, 10syl3anc 1494 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃) = (𝑃 𝑋))
1211eqeq1d 2827 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
13 cvlatl 35399 . . . 4 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
141, 13syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
15 simp3 1172 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
16 eqid 2825 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17 cvlcvrp.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
185, 16, 9, 17, 6atnle 35391 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
1914, 15, 4, 18syl3anc 1494 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 𝑋) = 0 ))
20 cvlcvrp.j . . 3 = (join‘𝐾)
21 cvlcvrp.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
225, 16, 20, 21, 6cvlcvr1 35413 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
2312, 19, 223bitr2d 299 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 0𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  lecple 16319  joincjn 17304  meetcmee 17305  0.cp0 17397  Latclat 17405  CLatccla 17467  OMLcoml 35249  ccvr 35336  Atomscatm 35337  AtLatcal 35338  CvLatclc 35339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396
This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  35415  cvrp  35490
  Copyright terms: Public domain W3C validator