Theorem cvlcvrp 35414

Description: A Hilbert lattice satisfies the covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 29785 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlcvrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvlcvrp.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlcvrp.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvlcvrp.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
cvlcvrp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlcvrp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlcvrp	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvlcvrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1266	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvllat 35400	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cvlcvrp.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvlcvrp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 35363	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant3 1169	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvlcvrp.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	5, 9	latmcom 17435	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
11	3, 4, 8, 10	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
12	11	eqeq1d 2827	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
13		cvlatl 35399	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
15		simp3 1172	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
17		cvlcvrp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	5, 16, 9, 17, 6	atnle 35391	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
19	14, 15, 4, 18	syl3anc 1494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = 0 ))
20		cvlcvrp.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
21		cvlcvrp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
22	5, 16, 20, 21, 6	cvlcvr1 35413	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
23	12, 19, 22	3bitr2d 299	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  lecple 16319  joincjn 17304  meetcmee 17305  0.cp0 17397  Latclat 17405  CLatccla 17467  OMLcoml 35249   ⋖ ccvr 35336  Atomscatm 35337  AtLatcal 35338  CvLatclc 35339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396

This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  35415  cvrp  35490