Theorem cvrval5 39372

Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrval5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrval5.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 39319	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		cvrval5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cvrval5.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	3, 4	latmcl 18510	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		cvrval5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvrval5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cvrval5.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11		cvrval5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	3, 8, 9, 10, 11	cvrval3 39370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
13	1, 6, 7, 12	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
16	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
17	3, 11	atbase 39245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
19	3, 8, 9	latlej2 18519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)
22	20, 21	breqtrd 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
23	22	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑌 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
24		simpll2 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25		simpll3 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 8, 4	latlem12 18536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
27	15, 18, 24, 25, 26	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
28	23, 27	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ 𝑌))
29	28	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
30	29	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	pm5.32rd 577	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
32	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
33	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
35	3, 9	latjcom 18517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
37	36	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
38	37	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
39	31, 38	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
40	39	rexbidva 3183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
41	13, 40	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  39981