Theorem cvrval5 39907

Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrval5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrval5.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 39855	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		cvrval5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cvrval5.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	3, 4	latmcl 18397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1169	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		cvrval5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvrval5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cvrval5.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11		cvrval5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	3, 8, 9, 10, 11	cvrval3 39905	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
13	1, 6, 7, 12	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	2	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
15	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
16	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
17	3, 11	atbase 39781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
19	3, 8, 9	latlej2 18406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
21		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)
22	20, 21	breqtrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
23	22	biantrurd 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑌 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
24		simpll2 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25		simpll3 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 8, 4	latlem12 18423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
27	15, 18, 24, 25, 26	syl13anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
28	23, 27	bitr2d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ 𝑌))
29	28	notbid 319	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
30	29	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	pm5.32rd 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
32	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
33	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
35	3, 9	latjcom 18404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
37	36	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
38	37	anbi2d 636	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
39	31, 38	bitrd 280	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
40	39	rexbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
41	13, 40	bitrd 280	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  40516