Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval5 38286
Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ π‘Œ. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrval5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrval5.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 38233 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 cvrval5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cvrval5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
53, 4latmcl 18393 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
62, 5syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 cvrval5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cvrval5.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cvrval5.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
11 cvrval5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 38284 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
131, 6, 7, 12syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
1423ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
166ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
173, 11atbase 38159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
193, 8, 9latlej2 18402 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ≀ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝))
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)
2220, 21breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
2322biantrurd 534 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
24 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
25 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
263, 8, 4latlem12 18419 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2823, 27bitr2d 280 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ))
2928notbid 318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
3029ex 414 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋 β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
3130pm5.32rd 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
3214adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
336adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3417adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
353, 9latjcom 18400 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3736eqeq1d 2735 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋))
3837anbi2d 630 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
3931, 38bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
4039rexbidva 3177 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
4113, 40bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  38895
  Copyright terms: Public domain W3C validator