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Theorem cvrval5 36420
Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l = (le‘𝐾)
cvrval5.j = (join‘𝐾)
cvrval5.m = (meet‘𝐾)
cvrval5.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 36368 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3 cvrval5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cvrval5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
53, 4latmcl 17654 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
62, 5syl3an1 1157 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
7 simp2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 cvrval5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 cvrval5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
10 cvrval5.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11 cvrval5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 36418 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
131, 6, 7, 12syl3anc 1365 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
1423ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
166ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
173, 11atbase 36294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1817ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝𝐵)
193, 8, 9latlej2 17663 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → 𝑝 ((𝑋 𝑌) 𝑝))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ((𝑋 𝑌) 𝑝))
21 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)
2220, 21breqtrd 5088 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 𝑋)
2322biantrurd 533 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
24 simpll2 1207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑋𝐵)
25 simpll3 1208 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑌𝐵)
263, 8, 4latlem12 17680 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑝 (𝑋 𝑌)))
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑝 (𝑋 𝑌)))
2823, 27bitr2d 281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑝 𝑌))
2928notbid 319 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 𝑌))
3029ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 𝑌)))
3130pm5.32rd 578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
3214adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
336adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3417adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
353, 9latjcom 17661 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = (𝑝 (𝑋 𝑌)))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = (𝑝 (𝑋 𝑌)))
3736eqeq1d 2827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
3837anbi2d 628 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑌 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
3931, 38bitrd 280 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
4039rexbidva 3300 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
4113, 40bitrd 280 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  ccvr 36267  Atomscatm 36268  HLchlt 36355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36181  df-ol 36183  df-oml 36184  df-covers 36271  df-ats 36272  df-atl 36303  df-cvlat 36327  df-hlat 36356
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  37029
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