Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval5 37924
Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ π‘Œ. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrval5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrval5.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 37871 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 cvrval5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cvrval5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
53, 4latmcl 18334 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
62, 5syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 cvrval5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cvrval5.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cvrval5.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
11 cvrval5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 37922 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
131, 6, 7, 12syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
1423ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
166ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
173, 11atbase 37797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
193, 8, 9latlej2 18343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ≀ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝))
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)
2220, 21breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
2322biantrurd 534 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
24 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
25 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
263, 8, 4latlem12 18360 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ ((𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2823, 27bitr2d 280 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ))
2928notbid 318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ))
3029ex 414 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋 β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
3130pm5.32rd 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
3214adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
336adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3417adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
353, 9latjcom 18341 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3736eqeq1d 2735 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋))
3837anbi2d 630 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
3931, 38bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
4039rexbidva 3170 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
4113, 40bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)𝐢𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  38533
  Copyright terms: Public domain W3C validator