Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β πΎ β HL) |
2 | | hllat 37871 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
3 | | cvrval5.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | | cvrval5.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | 3, 4 | latmcl 18334 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
6 | 2, 5 | syl3an1 1164 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
7 | | simp2 1138 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β π΅) |
8 | | cvrval5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cvrval5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cvrval5.c |
. . . 4
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
11 | | cvrval5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 3, 8, 9, 10, 11 | cvrval3 37922 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π)πΆπ β βπ β π΄ (Β¬ π β€ (π β§ π) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π))) |
13 | 1, 6, 7, 12 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π)πΆπ β βπ β π΄ (Β¬ π β€ (π β§ π) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π))) |
14 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β πΎ β Lat) |
15 | 14 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β πΎ β Lat) |
16 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (π β§ π) β π΅) |
17 | 3, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
18 | 17 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β π β π΅) |
19 | 3, 8, 9 | latlej2 18343 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β π β€ ((π β§ π) β¨ π)) |
20 | 15, 16, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β π β€ ((π β§ π) β¨ π)) |
21 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β ((π β§ π) β¨ π) = π) |
22 | 20, 21 | breqtrd 5132 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β π β€ π) |
23 | 22 | biantrurd 534 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (π β€ π β (π β€ π β§ π β€ π))) |
24 | | simpll2 1214 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β π β π΅) |
25 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β π β π΅) |
26 | 3, 8, 4 | latlem12 18360 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ π β€ π) β π β€ (π β§ π))) |
27 | 15, 18, 24, 25, 26 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β ((π β€ π β§ π β€ π) β π β€ (π β§ π))) |
28 | 23, 27 | bitr2d 280 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (π β€ (π β§ π) β π β€ π)) |
29 | 28 | notbid 318 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (Β¬ π β€ (π β§ π) β Β¬ π β€ π)) |
30 | 29 | ex 414 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (((π β§ π) β¨ π) = π β (Β¬ π β€ (π β§ π) β Β¬ π β€ π))) |
31 | 30 | pm5.32rd 579 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ (π β§ π) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (Β¬ π β€ π β§ ((π β§ π) β¨ π) = π))) |
32 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β πΎ β Lat) |
33 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π β§ π) β π΅) |
34 | 17 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
35 | 3, 9 | latjcom 18341 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π) β¨ π) = (π β¨ (π β§ π))) |
36 | 32, 33, 34, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((π β§ π) β¨ π) = (π β¨ (π β§ π))) |
37 | 36 | eqeq1d 2735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (((π β§ π) β¨ π) = π β (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
38 | 37 | anbi2d 630 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ π β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) |
39 | 31, 38 | bitrd 279 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ (π β§ π) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) |
40 | 39 | rexbidva 3170 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ (π β§ π) β§ ((π β§ π) β¨ π) = π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) |
41 | 13, 40 | bitrd 279 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π)πΆπ β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) |