Theorem cvrval5 40566

Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 ∧ 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrval5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrval5.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval5	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   ∧ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 40514	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		cvrval5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cvrval5.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	3, 4	latmcl 18620	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		cvrval5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cvrval5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cvrval5.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11		cvrval5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	3, 8, 9, 10, 11	cvrval3 40564	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
13	1, 6, 7, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	2	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
16	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
17	3, 11	atbase 40440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
19	3, 8, 9	latlej2 18629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝))
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)
22	20, 21	breqtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
23	22	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ 𝑌 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
24		simpll2 1232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 8, 4	latlem12 18646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
27	15, 18, 24, 25, 26	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
28	23, 27	bitr2d 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ 𝑝 ≤ 𝑌))
29	28	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌))
30	29	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋)))
32	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
33	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
35	3, 9	latjcom 18627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
37	36	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
38	37	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
39	31, 38	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
40	39	rexbidva 3184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))
41	13, 40	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑌 ∧ (𝑝 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  joincjn 18491  meetcmee 18492  Latclat 18611   ⋖ ccvr 40413  Atomscatm 40414  HLchlt 40501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-lat 18612  df-clat 18679  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502

This theorem is used by:  lhpmcvr2  41175