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Theorem cvrval5 37052
Description: Binary relation expressing 𝑋 covers 𝑋 𝑌. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval5.l = (le‘𝐾)
cvrval5.j = (join‘𝐾)
cvrval5.m = (meet‘𝐾)
cvrval5.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 37000 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3 cvrval5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cvrval5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
53, 4latmcl 17778 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
62, 5syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
7 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 cvrval5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 cvrval5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
10 cvrval5.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
11 cvrval5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 37050 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
131, 6, 7, 12syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
1423ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
166ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
173, 11atbase 36926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1817ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝𝐵)
193, 8, 9latlej2 17787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → 𝑝 ((𝑋 𝑌) 𝑝))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 ((𝑋 𝑌) 𝑝))
21 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)
2220, 21breqtrd 5056 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑝 𝑋)
2322biantrurd 536 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 𝑌 ↔ (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
24 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑋𝐵)
25 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → 𝑌𝐵)
263, 8, 4latlem12 17804 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑝 (𝑋 𝑌)))
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → ((𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑝 (𝑋 𝑌)))
2823, 27bitr2d 283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑝 𝑌))
2928notbid 321 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) → (¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 𝑌))
3029ex 416 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋 → (¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ↔ ¬ 𝑝 𝑌)))
3130pm5.32rd 581 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋)))
3214adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
336adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3417adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
353, 9latjcom 17785 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = (𝑝 (𝑋 𝑌)))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = (𝑝 (𝑋 𝑌)))
3736eqeq1d 2740 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
3837anbi2d 632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑌 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
3931, 38bitrd 282 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
4039rexbidva 3206 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋 𝑌) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
4113, 40bitrd 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑌 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  joincjn 17670  meetcmee 17671  Latclat 17771  ccvr 36899  Atomscatm 36900  HLchlt 36987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  37661
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