Theorem dalem9 39669

Description: Lemma for dath 39733. Since ¬ 𝐶 ≤ 𝑌, the join 𝑌 ∨ 𝐶 forms a 3-dimensional space. (Contributed by NM, 20-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem9.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem9.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
dalem9.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem9.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem9.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
dalem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑊 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem dalem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem9.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)
2		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3	2	dalemkehl 39620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
5	2	dalemyeo 39629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑂)
7		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		dalemc.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		dalem9.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11		dalem9.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
12	2, 7, 8, 9, 10, 11	dalemcea 39657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝐴)
14		dalem9.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
15	2, 7, 8, 9, 10, 11, 14	dalem-cly 39668	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝐶 ≤ 𝑌)
16		dalem9.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
17	7, 8, 9, 10, 16	lvoli3 39574	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ 𝑉)
18	4, 6, 13, 15, 17	syl31anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ 𝑉)
19	1, 18	eqeltrid 2845	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑊 ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  lecple 17314  joincjn 18378  Atomscatm 39259  HLchlt 39346  LPlanesclpl 39489  LVolsclvol 39490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-lat 18499  df-clat 18566  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39495  df-lplanes 39496  df-lvols 39497

This theorem is referenced by:  dalem13  39673  dalem14  39674