Theorem dalemrotyz 40150

Description: Lemma for dath 40228. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 19-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalemrot.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalemrot.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dalemrotyz	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))

Proof of Theorem dalemrotyz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
2		dalemrot.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
3		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
4		dalemc.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	dalemqrprot 40140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7	2, 6	eqtr4id 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
8	7	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
9		dalemrot.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
10	3	dalemkehl 40115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
11	3	dalemtea 40122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	3	dalemuea 40123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
13	3	dalemsea 40121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
14	4, 5	hlatjrot 39865	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
16	9, 15	eqtr4id 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))
17	16	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑍 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))
18	1, 8, 17	3eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  Atomscatm 39755  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18389  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843

This theorem is referenced by:  dalem29  40193  dalem30  40194  dalem31N  40195  dalem32  40196  dalem33  40197  dalem34  40198  dalem35  40199  dalem36  40200  dalem37  40201  dalem40  40204  dalem46  40210  dalem47  40211  dalem58  40222  dalem59  40223