Theorem dalemrotyz 40716

Description: Lemma for dath 40794. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 19-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalemrot.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalemrot.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dalemrotyz	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))

Proof of Theorem dalemrotyz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
2		dalemrot.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
3		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
4		dalemc.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	dalemqrprot 40706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7	2, 6	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
9		dalemrot.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
10	3	dalemkehl 40681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
11	3	dalemtea 40688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	3	dalemuea 40689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
13	3	dalemsea 40687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
14	4, 5	hlatjrot 40431	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
16	9, 15	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑍 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))
18	1, 8, 17	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40321  HLchlt 40408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-lat 18606  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409

This theorem is used by:  dalem29  40759  dalem30  40760  dalem31N  40761  dalem32  40762  dalem33  40763  dalem34  40764  dalem35  40765  dalem36  40766  dalem37  40767  dalem40  40770  dalem46  40776  dalem47  40777  dalem58  40788  dalem59  40789