Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem32 37980
Description: Lemma for dath 38012. Analogue of dalem27 37975 for 𝐻. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem29.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem29.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem29.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem29.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem29.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
Assertion
Ref Expression
dalem32 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem dalem32
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem29.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
6 dalem29.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 37933 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
873ad2ant1 1132 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 37934 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
1093adant3 1131 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
11 dalem.ps . . . 4 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 37967 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
13123adant2 1130 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
14 biid 260 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
15 biid 260 . . 3 (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
16 dalem29.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 dalem29.o . . 3 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
18 eqid 2736 . . 3 ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)
19 eqid 2736 . . 3 ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)
20 dalem29.h . . 3 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
2114, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem27 37975 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑)))) β†’ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄))
228, 10, 13, 21syl3anc 1370 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  meetcmee 18127  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  LPlanesclpl 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774  df-lplanes 37775
This theorem is referenced by:  dalem36  37984  dalem51  37999  dalem52  38000
  Copyright terms: Public domain W3C validator