Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem35 37763
Description: Lemma for dath 37792. Analogue of dalem24 37753 for 𝐼. (Contributed by NM, 3-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem34.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem34.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem34.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem34.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem34.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
dalem35 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐼 ≀ π‘Œ)

Proof of Theorem dalem35
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem34.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
6 dalem34.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 37713 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
873ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 37714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
1093adant3 1132 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
11 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 37747 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
13123adant2 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
14 biid 261 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
15 biid 261 . . . 4 (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
16 dalem34.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 dalem34.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
18 eqid 2736 . . . 4 ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)
19 eqid 2736 . . . 4 ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)
20 dalem34.i . . . 4 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
2114, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem30 37758 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑)))) β†’ Β¬ 𝐼 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
228, 10, 13, 21syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐼 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
231, 3, 4dalemqrprot 37704 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
245, 23eqtr4id 2795 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
2524breq2d 5093 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ≀ π‘Œ ↔ 𝐼 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
26253ad2ant1 1133 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐼 ≀ π‘Œ ↔ 𝐼 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
2722, 26mtbird 325 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐼 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  lecple 17014  joincjn 18074  meetcmee 18075  Atomscatm 37319  HLchlt 37406  LPlanesclpl 37548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555
This theorem is referenced by:  dalem43  37771
  Copyright terms: Public domain W3C validator