Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalem.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | | dalem.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dalem.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dalem.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | dalem34.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
6 | | dalem34.z |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | dalemrot 37713 |
. . . 4
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |
8 | 7 | 3ad2ant1 1133 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | dalemrotyz 37714 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
10 | 9 | 3adant3 1132 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
11 | | dalem.ps |
. . . . 5
β’ (π β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
12 | 1, 2, 3, 4, 11, 5 | dalemrotps 37747 |
. . . 4
β’ ((π β§ π) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
13 | 12 | 3adant2 1131 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
14 | | biid 261 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |
15 | | biid 261 |
. . . 4
β’ (((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
16 | | dalem34.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | dalem34.o |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
18 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π) |
19 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π) |
20 | | dalem34.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) |
21 | 14, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | dalem30 37758 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ πΆ β
(BaseβπΎ)) β§
(π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β§ ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ πΌ β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
22 | 8, 10, 13, 21 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β Β¬ πΌ β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
23 | 1, 3, 4 | dalemqrprot 37704 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
24 | 5, 23 | eqtr4id 2795 |
. . . 4
β’ (π β π = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
25 | 24 | breq2d 5093 |
. . 3
β’ (π β (πΌ β€ π β πΌ β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
26 | 25 | 3ad2ant1 1133 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (πΌ β€ π β πΌ β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
27 | 22, 26 | mtbird 325 |
1
β’ ((π β§ π = π β§ π) β Β¬ πΌ β€ π) |