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Theorem dalem59 39236
Description: Lemma for dath 39241. Analogue of dalem57 39234 for 𝐹. (Contributed by NM, 10-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem59.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem59.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem59.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem59.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem59.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
dalem59.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem59.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem59.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
dalem59.b1 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dalem59 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐹 ≀ 𝐡)

Proof of Theorem dalem59
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem59.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
6 dalem59.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 39162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
873ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 39163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
1093adant3 1129 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
11 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 39196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
13123adant2 1128 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
14 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
15 biid 260 . . . 4 (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))) ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
16 dalem59.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 dalem59.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
18 eqid 2728 . . . 4 ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)
19 eqid 2728 . . . 4 ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)
20 dalem59.f . . . 4 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
21 dalem59.h . . . 4 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
22 dalem59.i . . . 4 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
23 dalem59.g . . . 4 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
24 eqid 2728 . . . 4 (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)) = (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
2514, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24dalem58 39235 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∧ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑)))) β†’ 𝐹 ≀ (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
268, 10, 13, 25syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐹 ≀ (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
271dalemkehl 39128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
28273ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
291, 2, 3, 4, 11, 16, 17, 5, 6, 21dalem29 39206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
301, 2, 3, 4, 11, 16, 17, 5, 6, 22dalem34 39211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
311, 2, 3, 4, 11, 16, 17, 5, 6, 23dalem23 39201 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
323, 4hlatjrot 38877 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼))
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼))
341, 3, 4dalemqrprot 39153 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
3534, 5eqtr4di 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = π‘Œ)
36353ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = π‘Œ)
3733, 36oveq12d 7444 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)) = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ))
38 dalem59.b1 . . 3 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
3937, 38eqtr4di 2786 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐻 ∨ 𝐼) ∨ 𝐺) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)) = 𝐡)
4026, 39breqtrd 5178 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐹 ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005
This theorem is referenced by:  dalem61  39238
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