Theorem dif1ennn 9191

Description: If a set 𝐴 is equinumerous to the successor of a natural number 𝑀, then 𝐴 with an element removed is equinumerous to 𝑀. See also dif1ennnALT 9304. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dif1ennn	⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1ennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7874	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ On)
2		dif1en 9190	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
3	1, 2	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3943  {csn 4623   class class class wbr 5145  Oncon0 6368  suc csuc 6370  ωcom 7868   ≈ cen 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-om 7869  df-en 8967

This theorem is referenced by:  findcard  9193  phplem1  9234  enp1iOLD  9307  en2eleq  10044  en2other2  10045  mreexexlem4d  17655  f1otrspeq  19441  pmtrf  19449  pmtrmvd  19450  pmtrfinv  19455