Theorem djuenun 10057

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 10056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
3		relen 8869	. . . 4 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5668	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	3	brrelex2i 5668	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
6		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
7		endjudisj 10055	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
9		entr 8923	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
10	2, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4278   class class class wbr 5086   ≈ cen 8861   ⊔ cdju 9786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dju 9789

This theorem is referenced by:  dju1en  10058  djucomen  10064  djuassen  10065  xpdjuen  10066  onadju  10080  pwxpndom2  10551