Theorem djuenun 10027

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 10026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
2	1	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
3		relen 8809	. . . 4 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5675	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	3	brrelex2i 5675	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
6		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
7		endjudisj 10025	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
9		entr 8867	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
10	2, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897  ∅c0 4269   class class class wbr 5092   ≈ cen 8801   ⊔ cdju 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dju 9758

This theorem is referenced by:  dju1en  10028  djucomen  10034  djuassen  10035  xpdjuen  10036  onadju  10050  pwxpndom2  10522