MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuenun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuenun 10114
Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
djuenun ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuenun
StepHypRef Expression
1 djuen 10113 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
213adant3 1133 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
3 relen 8894 . . . 4 Rel ≈
43brrelex2i 5693 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
53brrelex2i 5693 . . 3 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
6 id 22 . . 3 ((𝐵𝐷) = ∅ → (𝐵𝐷) = ∅)
7 endjudisj 10112 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
84, 5, 6, 7syl3an 1161 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
9 entr 8952 . 2 (((𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐷) ≈ (𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
102, 8, 9syl2anc 585 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  cin 3913  c0 4286   class class class wbr 5109  cen 8886  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  dju1en  10115  djucomen  10121  djuassen  10122  xpdjuen  10123  onadju  10137  pwxpndom2  10609
  Copyright terms: Public domain W3C validator