Theorem djuenun 10084

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 10083	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
2	1	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
3		relen 8888	. . . 4 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5675	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	3	brrelex2i 5675	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
6		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
7		endjudisj 10082	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
9		entr 8943	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
10	2, 8, 9	syl2anc 590	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   ≈ cen 8880   ⊔ cdju 9813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dju 9816

This theorem is referenced by:  dju1en  10085  djucomen  10091  djuassen  10092  xpdjuen  10093  onadju  10107  pwxpndom2  10579