Theorem djuenun 10288

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 10287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
3		relen 9016	. . . 4 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5715	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	3	brrelex2i 5715	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
6		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
7		endjudisj 10286	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1178	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
9		entr 9071	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
10	2, 8, 9	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   ≈ cen 9008   ⊔ cdju 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dju 10019

This theorem is used by:  dju1en  10289  djucomen  10295  djuassen  10296  xpdjuen  10297  onadju  10311  pwxpndom2  10789