Theorem djuenun 10093

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 10092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷))
3		relen 8900	. . . 4 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5689	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	3	brrelex2i 5689	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
6		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐷) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
7		endjudisj 10091	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
9		entr 8955	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐷) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))
10	2, 8, 9	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷 ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   ≈ cen 8892   ⊔ cdju 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dju 9825

This theorem is referenced by:  dju1en  10094  djucomen  10100  djuassen  10101  xpdjuen  10102  onadju  10116  pwxpndom2  10588