MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzocongeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzocongeq 16140
Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzocongeq ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 13499 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 13498 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
31, 2zsubcld 12544 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
4 elfzoelz 13500 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 elfzoelz 13500 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
6 zsubcl 12475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
74, 5, 6syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
8 dvdsabsb 16092 . . . 4 (((𝐷𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
93, 7, 8syl2an2 684 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
10 fzomaxdif 15162 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
11 fzo0dvdseq 16139 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
139, 12bitrd 278 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
144zcnd 12540 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
155zcnd 12540 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
16 subcl 11333 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1714, 15, 16syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1817abs00ad 15109 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
19 subeq0 11360 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2014, 15, 19syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2118, 20bitrd 278 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2213, 21bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349  cc 10982  0cc0 10984  cmin 11318  cz 12432  ..^cfzo 13495  abscabs 15052  cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  16141  odf1o2  19284
  Copyright terms: Public domain W3C validator