Theorem fzocongeq 16361

Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzocongeq	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13698	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2		elfzoel1 13697	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
3	1, 2	zsubcld 12727	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
4		elfzoelz 13699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13699	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		zsubcl 12659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 16313	. . . 4 ⊢ (((𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
9	3, 7, 8	syl2an2 686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
10		fzomaxdif 15382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
11		fzo0dvdseq 16360	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
13	9, 12	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
14	4	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	5	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		subcl 11507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	abs00ad 15329	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
19		subeq0 11535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
20	14, 15, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
21	18, 20	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
22	13, 21	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  abscabs 15273   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  16362  odf1o2  19591