MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzocongeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzocongeq 16141
Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzocongeq ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 13500 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 13499 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
31, 2zsubcld 12545 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
4 elfzoelz 13501 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 elfzoelz 13501 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
6 zsubcl 12476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
74, 5, 6syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
8 dvdsabsb 16093 . . . 4 (((𝐷𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
93, 7, 8syl2an2 685 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
10 fzomaxdif 15163 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
11 fzo0dvdseq 16140 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
139, 12bitrd 279 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
144zcnd 12541 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
155zcnd 12541 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
16 subcl 11334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1714, 15, 16syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1817abs00ad 15110 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
19 subeq0 11361 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2014, 15, 19syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2118, 20bitrd 279 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2213, 21bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  cc 10983  0cc0 10985  cmin 11319  cz 12433  ..^cfzo 13496  abscabs 15053  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  16142  odf1o2  19284
  Copyright terms: Public domain W3C validator