Theorem fzocongeq 16301

Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzocongeq	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13626	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2		elfzoel1 13625	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
3	1, 2	zsubcld 12650	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
4		elfzoelz 13627	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13627	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		zsubcl 12582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 16252	. . . 4 ⊢ (((𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
9	3, 7, 8	syl2an2 686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
10		fzomaxdif 15317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
11		fzo0dvdseq 16300	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
13	9, 12	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
14	4	zcnd 12646	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	5	zcnd 12646	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		subcl 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	abs00ad 15263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
19		subeq0 11455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
20	14, 15, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
21	18, 20	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
22	13, 21	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷 − 𝐶) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   − cmin 11412  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622  abscabs 15207   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  16302  odf1o2  19510