Theorem elfzo2 13584

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
4		eluz2 12760	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
5		3ancoma 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
6		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
7	4, 5, 6	3bitri 297	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
8	7	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
9	1, 3, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10		elfzoelz 13581	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzoel1 13579	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elfzoel2 13580	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		elfzo 13583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	13, 14	biadanii 821	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
16		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
17	9, 15, 16	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ..^cfzo 13576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577

This theorem is referenced by:  elfzouz  13585  fzolb  13587  elfzo3  13598  fzouzsplit  13616  prinfzo0  13620  elfzo0  13622  elfzo1  13634  fzo1fzo0n0  13637  eluzgtdifelfzo  13649  ssfzo12bi  13683  fzoopth  13684  elfzonelfzo  13691  elfzomelpfzo  13693  modaddmodup  13860  ccatrn  14515  cshwidxmod  14728  cats1fv  14785  bitsfzolem  16364  bitsfzo  16365  bitsmod  16366  bitsfi  16367  bitsinv1lem  16371  bitsinv1  16372  modprm0  16736  prmgaplem5  16986  prmgaplem6  16987  prmgaplem7  16988  lt6abl  19793  iundisj2  25467  dchrisum0flblem2  27437  crctcshwlkn0lem5  29778  iundisj2f  32553  iundisj2fi  32759  chnso  32975  frlmvscadiccat  42499  ssinc  45085  ssdec  45086  elfzfzo  45279  monoords  45299  elfzod  45399  iblspltprt  45974  itgspltprt  45980  fourierdlem20  46128  fourierdlem25  46133  fourierdlem41  46149  fourierdlem48  46155  fourierdlem49  46156  fourierdlem50  46157  fourierdlem79  46186  subsubelfzo0  47330  m1modmmod  47362  iccpartiltu  47426  iccpartigtl  47427  iccpartgt  47431  wtgoldbnnsum4prm  47806  bgoldbnnsum3prm  47808  bgoldbtbndlem3  47811  bgoldbtbndlem4  47812  gpgedgvtx1  48066  elfzolborelfzop1  48524  fllog2  48573  nnolog2flm1  48595