MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo2 13034
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 652 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2 df-3an 1083 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32anbi1i 623 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
4 eluz2 12241 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
5 3ancoma 1092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
6 df-3an 1083 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
74, 5, 63bitri 298 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
87anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
91, 3, 83bitr4i 304 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10 elfzoelz 13031 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzoel1 13029 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 elfzoel2 13030 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1310, 11, 123jca 1122 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 elfzo 13033 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1513, 14biadanii 819 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
16 3anass 1089 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
179, 15, 163bitr4i 304 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2106   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  ..^cfzo 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027
This theorem is referenced by:  elfzouz  13035  fzolb  13037  elfzo3  13047  fzouzsplit  13065  prinfzo0  13069  elfzo0  13071  elfzo1  13080  fzo1fzo0n0  13081  eluzgtdifelfzo  13092  ssfzo12bi  13125  elfzonelfzo  13132  elfzomelpfzo  13134  modaddmodup  13295  ccatrn  13936  cshwidxmod  14158  cats1fv  14214  bitsfzolem  15775  bitsfzo  15776  bitsmod  15777  bitsfi  15778  bitsinv1lem  15782  bitsinv1  15783  modprm0  16134  prmgaplem5  16383  prmgaplem6  16384  prmgaplem7  16385  lt6abl  18937  iundisj2  24065  dchrisum0flblem2  25999  crctcshwlkn0lem5  27507  iundisj2f  30256  iundisj2fi  30434  frlmvscadiccat  39009  ssinc  41215  ssdec  41216  elfzfzo  41404  monoords  41426  elfzod  41535  iblspltprt  42120  itgspltprt  42126  fourierdlem20  42275  fourierdlem25  42280  fourierdlem41  42296  fourierdlem48  42302  fourierdlem49  42303  fourierdlem50  42304  fourierdlem79  42333  iundjiunlem  42604  subsubelfzo0  43389  fzoopth  43390  iccpartiltu  43411  iccpartigtl  43412  iccpartgt  43416  wtgoldbnnsum4prm  43796  bgoldbnnsum3prm  43798  bgoldbtbndlem3  43801  bgoldbtbndlem4  43802  elfzolborelfzop1  44403  m1modmmod  44410  fllog2  44457  nnolog2flm1  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator