Theorem elfzo2 13639

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 652	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2		df-3an 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	anbi1i 622	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
4		eluz2 12832	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
5		3ancoma 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
6		df-3an 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
7	4, 5, 6	3bitri 296	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
8	7	anbi1i 622	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
9	1, 3, 8	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10		elfzoelz 13636	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzoel1 13634	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elfzoel2 13635	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1126	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		elfzo 13638	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	13, 14	biadanii 818	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
16		3anass 1093	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
17	9, 15, 16	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ..^cfzo 13631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632

This theorem is referenced by:  elfzouz  13640  fzolb  13642  elfzo3  13653  fzouzsplit  13671  prinfzo0  13675  elfzo0  13677  elfzo1  13686  fzo1fzo0n0  13687  eluzgtdifelfzo  13698  ssfzo12bi  13731  elfzonelfzo  13738  elfzomelpfzo  13740  modaddmodup  13903  ccatrn  14543  cshwidxmod  14757  cats1fv  14814  bitsfzolem  16379  bitsfzo  16380  bitsmod  16381  bitsfi  16382  bitsinv1lem  16386  bitsinv1  16387  modprm0  16742  prmgaplem5  16992  prmgaplem6  16993  prmgaplem7  16994  lt6abl  19804  iundisj2  25298  dchrisum0flblem2  27248  crctcshwlkn0lem5  29335  iundisj2f  32088  iundisj2fi  32275  frlmvscadiccat  41386  ssinc  44077  ssdec  44078  elfzfzo  44284  monoords  44305  elfzod  44408  iblspltprt  44987  itgspltprt  44993  fourierdlem20  45141  fourierdlem25  45146  fourierdlem41  45162  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem50  45170  fourierdlem79  45199  subsubelfzo0  46332  fzoopth  46333  iccpartiltu  46388  iccpartigtl  46389  iccpartgt  46393  wtgoldbnnsum4prm  46768  bgoldbnnsum3prm  46770  bgoldbtbndlem3  46773  bgoldbtbndlem4  46774  elfzolborelfzop1  47287  m1modmmod  47294  fllog2  47341  nnolog2flm1  47363