Theorem elfzo2 13623

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
4		eluz2 12799	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
5		3ancoma 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
6		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
7	4, 5, 6	3bitri 297	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
8	7	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
9	1, 3, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10		elfzoelz 13620	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzoel1 13618	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elfzoel2 13619	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		elfzo 13622	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	13, 14	biadanii 821	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
16		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
17	9, 15, 16	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  elfzouz  13624  fzolb  13626  elfzo3  13637  fzouzsplit  13655  prinfzo0  13659  elfzo0  13661  elfzo1  13673  fzo1fzo0n0  13676  eluzgtdifelfzo  13688  ssfzo12bi  13722  fzoopth  13723  elfzonelfzo  13730  elfzomelpfzo  13732  modaddmodup  13899  ccatrn  14554  cshwidxmod  14768  cats1fv  14825  bitsfzolem  16404  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  bitsfi  16407  bitsinv1lem  16411  bitsinv1  16412  modprm0  16776  prmgaplem5  17026  prmgaplem6  17027  prmgaplem7  17028  lt6abl  19825  iundisj2  25450  dchrisum0flblem2  27420  crctcshwlkn0lem5  29744  iundisj2f  32519  iundisj2fi  32720  chnso  32940  frlmvscadiccat  42494  ssinc  45081  ssdec  45082  elfzfzo  45275  monoords  45295  elfzod  45396  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  fourierdlem20  46125  fourierdlem25  46130  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem79  46183  subsubelfzo0  47327  m1modmmod  47359  iccpartiltu  47423  iccpartigtl  47424  iccpartgt  47428  wtgoldbnnsum4prm  47803  bgoldbnnsum3prm  47805  bgoldbtbndlem3  47808  bgoldbtbndlem4  47809  gpgedgvtx1  48053  elfzolborelfzop1  48508  fllog2  48557  nnolog2flm1  48579