Theorem elfzo2 13670

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 654	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	anbi1i 622	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
4		eluz2 12861	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
5		3ancoma 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
6		df-3an 1086	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
7	4, 5, 6	3bitri 296	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
8	7	anbi1i 622	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
9	1, 3, 8	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10		elfzoelz 13667	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzoel1 13665	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elfzoel2 13666	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1125	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		elfzo 13669	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
15	13, 14	biadanii 820	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
16		3anass 1092	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
17	9, 15, 16	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ..^cfzo 13662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663

This theorem is referenced by:  elfzouz  13671  fzolb  13673  elfzo3  13684  fzouzsplit  13702  prinfzo0  13706  elfzo0  13708  elfzo1  13717  fzo1fzo0n0  13718  eluzgtdifelfzo  13729  ssfzo12bi  13762  fzoopth  13763  elfzonelfzo  13770  elfzomelpfzo  13772  modaddmodup  13935  ccatrn  14575  cshwidxmod  14789  cats1fv  14846  bitsfzolem  16412  bitsfzo  16413  bitsmod  16414  bitsfi  16415  bitsinv1lem  16419  bitsinv1  16420  modprm0  16777  prmgaplem5  17027  prmgaplem6  17028  prmgaplem7  17029  lt6abl  19862  iundisj2  25522  dchrisum0flblem2  27487  crctcshwlkn0lem5  29697  iundisj2f  32459  iundisj2fi  32647  frlmvscadiccat  41881  ssinc  44590  ssdec  44591  elfzfzo  44793  monoords  44814  elfzod  44917  iblspltprt  45496  itgspltprt  45502  fourierdlem20  45650  fourierdlem25  45655  fourierdlem41  45671  fourierdlem48  45677  fourierdlem49  45678  fourierdlem50  45679  fourierdlem79  45708  subsubelfzo0  46841  iccpartiltu  46896  iccpartigtl  46897  iccpartgt  46901  wtgoldbnnsum4prm  47276  bgoldbnnsum3prm  47278  bgoldbtbndlem3  47281  bgoldbtbndlem4  47282  elfzolborelfzop1  47770  m1modmmod  47777  fllog2  47824  nnolog2flm1  47846