MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo2 13042
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2 df-3an 1085 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32anbi1i 625 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
4 eluz2 12250 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
5 3ancoma 1094 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
6 df-3an 1085 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
74, 5, 63bitri 299 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
87anbi1i 625 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
91, 3, 83bitr4i 305 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10 elfzoelz 13039 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzoel1 13037 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 elfzoel2 13038 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1310, 11, 123jca 1124 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 elfzo 13041 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1513, 14biadanii 820 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
16 3anass 1091 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
179, 15, 163bitr4i 305 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2114   class class class wbr 5066  cfv 6355  (class class class)co 7156   < clt 10675  cle 10676  cz 11982  cuz 12244  ..^cfzo 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035
This theorem is referenced by:  elfzouz  13043  fzolb  13045  elfzo3  13055  fzouzsplit  13073  prinfzo0  13077  elfzo0  13079  elfzo1  13088  fzo1fzo0n0  13089  eluzgtdifelfzo  13100  ssfzo12bi  13133  elfzonelfzo  13140  elfzomelpfzo  13142  modaddmodup  13303  ccatrn  13943  cshwidxmod  14165  cats1fv  14221  bitsfzolem  15783  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitsfi  15786  bitsinv1lem  15790  bitsinv1  15791  modprm0  16142  prmgaplem5  16391  prmgaplem6  16392  prmgaplem7  16393  lt6abl  19015  iundisj2  24150  dchrisum0flblem2  26085  crctcshwlkn0lem5  27592  iundisj2f  30340  iundisj2fi  30520  frlmvscadiccat  39165  ssinc  41373  ssdec  41374  elfzfzo  41562  monoords  41584  elfzod  41693  iblspltprt  42278  itgspltprt  42284  fourierdlem20  42432  fourierdlem25  42437  fourierdlem41  42453  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem50  42461  fourierdlem79  42490  iundjiunlem  42761  subsubelfzo0  43546  fzoopth  43547  iccpartiltu  43602  iccpartigtl  43603  iccpartgt  43607  wtgoldbnnsum4prm  43987  bgoldbnnsum3prm  43989  bgoldbtbndlem3  43992  bgoldbtbndlem4  43993  elfzolborelfzop1  44594  m1modmmod  44601  fllog2  44648  nnolog2flm1  44670
  Copyright terms: Public domain W3C validator