Theorem fzostep1 13818

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2		uzid 12880	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3		peano2uz 12928	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
4		fzoss1 13718	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
6		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13749	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
10		elfzoel2 13689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11		elfzolt3 13701	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
12		zre 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13		zre 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14		ltle 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
16	1, 10, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
17	11, 16	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐶)
18		eluz2 12871	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1360	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
20		fzosplitsni 13811	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
22	9, 21	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  1c1 11104   + caddc 11106   < clt 11246   ≤ cle 11247  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  ..^cfzo 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  19567  psdmul  22312