MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzolt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzolt2 13588
Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzolt2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem elfzolt2
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13579 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 13577 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 13578 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzo 13581 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
65ibi 267 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁))
76simprd 497 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   < clt 11196  cle 11197  cz 12506  ..^cfzo 13574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575
This theorem is referenced by:  elfzolt3  13589  elfzolt2b  13590  elfzop1le2  13592  fzonel  13593  elfzouz2  13594  fzonnsub  13604  fzospliti  13611  fzodisj  13613  fzouzdisj  13615  fzodisjsn  13617  elfzo0  13620  elfzo1  13629  fzoaddel  13632  elincfzoext  13637  ssfzo12  13672  elfznelfzob  13685  modaddmodlo  13847  ccatrn  14484  swrds2  14836  fzomaxdiflem  15234  fzo0dvdseq  16212  bitsfzolem  16321  bitsfzo  16322  sadcaddlem  16344  sadaddlem  16353  sadasslem  16357  sadeq  16359  smuval2  16369  smupvallem  16370  smueqlem  16377  crth  16657  eulerthlem2  16661  hashgcdlem  16667  prmgaplem6  16935  znf1o  20974  iundisj  24928  tgcgr4  27515  clwlkclwwlklem2fv1  28981  iundisjf  31549  iundisjfi  31741  fzone1  31745  smattl  32419  smattr  32420  smatbl  32421  signsplypnf  33202  breprexplemc  33285  poimirlem17  36124  poimirlem20  36127  frlmvscadiccat  40710  elfzfzo  43584  dvnmul  44258  iblspltprt  44288  itgspltprt  44294  stoweidlem3  44318  fourierdlem12  44434  fourierdlem50  44471  fourierdlem64  44485  fourierdlem79  44500  iccpartgt  45693  m1modmmod  46681
  Copyright terms: Public domain W3C validator