Theorem elfzolt2 13705

Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolt2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem elfzolt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13696	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzoel1 13694	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 13695	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzo 13698	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
6	5	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  elfzolt3  13706  elfzolt2b  13707  elfzop1le2  13709  fzonel  13710  elfzouz2  13711  fzonnsub  13721  fzospliti  13728  fzodisj  13730  fzouzdisj  13732  fzodisjsn  13734  elfzo0  13737  elfzo1  13749  fzoaddel  13753  elincfzoext  13759  ssfzo12  13795  elfznelfzob  13809  modaddmodlo  13973  ccatrn  14624  swrds2  14976  fzomaxdiflem  15378  fzo0dvdseq  16357  bitsfzolem  16468  bitsfzo  16469  sadcaddlem  16491  sadaddlem  16500  sadasslem  16504  sadeq  16506  smuval2  16516  smupvallem  16517  smueqlem  16524  crth  16812  eulerthlem2  16816  hashgcdlem  16822  prmgaplem6  17090  znf1o  21588  iundisj  25597  tgcgr4  28554  clwlkclwwlklem2fv1  30024  iundisjf  32609  iundisjfi  32804  fzone1  32808  ply1degltdimlem  33650  ply1degltdim  33651  smattl  33759  smattr  33760  smatbl  33761  signsplypnf  34544  breprexplemc  34626  poimirlem17  37624  poimirlem20  37627  frlmvscadiccat  42493  elfzfzo  45227  dvnmul  45899  iblspltprt  45929  itgspltprt  45935  stoweidlem3  45959  fourierdlem12  46075  fourierdlem50  46112  fourierdlem64  46126  fourierdlem79  46141  iccpartgt  47352  gpgedgvtx1  47955  m1modmmod  48371