Theorem elfzolt2 13702

Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolt2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem elfzolt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13692	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzoel1 13690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 13691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzo 13694	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
6	5	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁))
7	6	simprd 500	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℤcz 12595  ..^cfzo 13687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688

This theorem is used by:  elfzolt3  13703  elfzolt2b  13704  elfzop1le2  13706  fzonel  13707  elfzouz2  13708  fzonnsub  13718  fzospliti  13725  fzodisj  13727  fzouzdisj  13729  fzodisjsn  13731  elfzo0  13734  elfzo1  13746  fzoaddel  13751  elincfzoext  13757  ssfzo12  13793  elfznelfzob  13808  fzone1  13818  modaddmodlo  13976  ccatrn  14632  swrds2  14982  fzomaxdiflem  15399  fzo0dvdseq  16385  bitsfzolem  16496  bitsfzo  16497  sadcaddlem  16519  sadaddlem  16528  sadasslem  16532  sadeq  16534  smuval2  16544  smupvallem  16545  smueqlem  16552  crth  16841  eulerthlem2  16845  hashgcdlem  16851  prmgaplem6  17120  chnccat  18686  znf1o  21710  iundisj  25716  tgcgr4  28809  clwlkclwwlklem2fv1  30355  iundisjf  32943  iundisjfi  33150  ply1degltdimlem  34021  ply1degltdim  34022  smattl  34197  smattr  34198  smatbl  34199  signsplypnf  34946  breprexplemc  35028  poimirlem17  38316  poimirlem20  38319  frlmvscadiccat  43308  elfzfzo  46024  dvnmul  46685  iblspltprt  46715  itgspltprt  46721  stoweidlem3  46745  fourierdlem12  46861  fourierdlem50  46898  fourierdlem64  46912  fourierdlem79  46927  chnsubseq  47624  m1modmmod  48129  mod2addne  48135  iccpartgt  48204  upgrimpthslem2  48701  gpgedgvtx1  48855