Theorem elincfzoext 13623

Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elincfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 13567	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑍)
2		elfzoelz 13559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
3	2	zred 12577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5		nn0addge1 12427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
6	4, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7		elfzoel1 13557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
10	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11		nn0re 12390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14		letr 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
16	15	exp4b 430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
17	16	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
18	17	imp31 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
19	6, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
20	19	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
21	1, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23		elfzoel2 13558	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zred 12577	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 13568	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
28	10, 25, 12, 27	ltadd1dd 11728	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
29	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30		nn0z 12493	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
32	29, 31	zaddcld 12581	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
33	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34, 31	zaddcld 12581	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36		elfzo 13561	. . 3 ⊢ (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
38	22, 28, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  ccatalpha  14501