Theorem elincfzoext 13754

Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elincfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 13698	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑍)
2		elfzoelz 13689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
3	2	zred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5		nn0addge1 12551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
6	4, 5	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7		elfzoel1 13687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
10	3	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11		nn0re 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14		letr 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
16	15	exp4b 435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
17	16	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
18	17	imp31 422	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
19	6, 18	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
20	19	exp31 424	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
21	1, 20	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
22	21	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23		elfzoel2 13688	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zred 12701	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 13699	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
27	26	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
28	10, 25, 12, 27	ltadd1dd 11826	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
29	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30		nn0z 12616	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
31	30	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
32	29, 31	zaddcld 12705	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
33	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34, 31	zaddcld 12705	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36		elfzo 13691	. . 3 ⊢ (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
38	22, 28, 37	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  ccatalpha  14633