Theorem elincfzoext 13426

Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elincfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 13377	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑍)
2		elfzoelz 13369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
3	2	zred 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5		nn0addge1 12262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
6	4, 5	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7		elfzoel1 13367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
10	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11		nn0re 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 10988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14		letr 11052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
16	15	exp4b 430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
17	16	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
18	17	imp31 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
19	6, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
20	19	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
21	1, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23		elfzoel2 13368	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zred 12408	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 13378	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
28	10, 25, 12, 27	ltadd1dd 11569	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
29	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30		nn0z 12326	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
32	29, 31	zaddcld 12412	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
33	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34, 31	zaddcld 12412	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36		elfzo 13371	. . 3 ⊢ (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
38	22, 28, 37	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854   + caddc 10858   < clt 10993   ≤ cle 10994  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302  ..^cfzo 13364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365

This theorem is referenced by:  ccatalpha  14279