Theorem elincfzoext 13096

Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elincfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 13047	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑍)
2		elfzoelz 13039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
3	2	zred 12088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
4	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5		nn0addge1 11944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
6	4, 5	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7		elfzoel1 13037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
10	3	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11		nn0re 11907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 10670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14		letr 10734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
16	15	exp4b 433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
17	16	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
18	17	imp31 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
19	6, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
20	19	exp31 422	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
21	1, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
22	21	imp 409	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23		elfzoel2 13038	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zred 12088	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 13048	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
27	26	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
28	10, 25, 12, 27	ltadd1dd 11251	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
29	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30		nn0z 12006	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
31	30	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
32	29, 31	zaddcld 12092	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
33	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	23	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34, 31	zaddcld 12092	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36		elfzo 13041	. . 3 ⊢ (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
38	22, 28, 37	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035

This theorem is referenced by:  ccatalpha  13947