MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elincfzoext 13695
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 13645 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑍)
2 elfzoelz 13637 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
32zred 12671 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5 nn0addge1 12523 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
64, 5sylan 579 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7 elfzoel1 13635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 12671 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14 letr 11313 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
159, 10, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
1615exp4b 430 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1716com23 86 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1817imp31 417 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
196, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
2019exp31 419 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
211, 20mpd 15 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
2221imp 406 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23 elfzoel2 13636 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zred 12671 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 13646 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
2726adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 11830 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
292adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30 nn0z 12588 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
3229, 31zaddcld 12675 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
337adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3423adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3534, 31zaddcld 12675 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36 elfzo 13639 . . 3 (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1370 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3822, 28, 37mpbir2and 710 1 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cr 11113   + caddc 11117   < clt 11253  cle 11254  0cn0 12477  cz 12563  ..^cfzo 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633
This theorem is referenced by:  ccatalpha  14548
  Copyright terms: Public domain W3C validator