MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elincfzoext 13088
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 13039 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑍)
2 elfzoelz 13031 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
32zred 12073 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5 nn0addge1 11929 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
64, 5sylan 583 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7 elfzoel1 13029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 12073 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
103adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11 nn0re 11892 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1211adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 10655 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14 letr 10719 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
159, 10, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
1615exp4b 434 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1716com23 86 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1817imp31 421 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
196, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
2019exp31 423 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
211, 20mpd 15 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
2221imp 410 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23 elfzoel2 13030 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zred 12073 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 484 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 13040 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
2726adantr 484 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 11236 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
292adantr 484 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30 nn0z 11991 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
3130adantl 485 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
3229, 31zaddcld 12077 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
337adantr 484 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3423adantr 484 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3534, 31zaddcld 12077 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36 elfzo 13033 . . 3 (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3822, 28, 37mpbir2and 712 1 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521   + caddc 10525   < clt 10660  cle 10661  0cn0 11883  cz 11967  ..^cfzo 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027
This theorem is referenced by:  ccatalpha  13936
  Copyright terms: Public domain W3C validator