MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elincfzoext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elincfzoext 13759
Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
elincfzoext ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext
StepHypRef Expression
1 elfzole1 13704 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑍)
2 elfzoelz 13696 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
32zred 12720 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5 nn0addge1 12570 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
64, 5sylan 580 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7 elfzoel1 13694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14 letr 11353 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
159, 10, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑍𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
1615exp4b 430 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1716com23 86 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
1817imp31 417 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
196, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
2019exp31 419 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
211, 20mpd 15 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
2221imp 406 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23 elfzoel2 13695 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zred 12720 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 13705 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
2726adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
2810, 25, 12, 27ltadd1dd 11872 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
292adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30 nn0z 12636 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
3229, 31zaddcld 12724 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
337adantr 480 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3423adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3534, 31zaddcld 12724 . . 3 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36 elfzo 13698 . . 3 (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1370 . 2 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
3822, 28, 37mpbir2and 713 1 ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  ccatalpha  14628
  Copyright terms: Public domain W3C validator