Theorem elincfzoext 13090

Description: Membership of an increased integer in a correspondingly extended half-open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elincfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elincfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzole1 13041	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑍)
2		elfzoelz 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℤ)
3	2	zred 12075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ ℝ)
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
5		nn0addge1 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
6	4, 5	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼))
7		elfzoel1 13031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
10	3	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℝ)
11		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 10659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ)
14		letr 10723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 + 𝐼) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼)) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
16	15	exp4b 434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
17	16	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))))
18	17	imp31 421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 ≤ (𝑍 + 𝐼) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
19	6, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑀 ≤ 𝑍) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
20	19	exp31 423	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑍 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))))
21	1, 20	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼)))
22	21	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼))
23		elfzoel2 13032	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zred 12075	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		elfzolt2 13042	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 < 𝑁)
27	26	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 < 𝑁)
28	10, 25, 12, 27	ltadd1dd 11240	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))
29	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ ℤ)
30		nn0z 11993	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
31	30	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
32	29, 31	zaddcld 12079	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ)
33	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	23	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34, 31	zaddcld 12079	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ)
36		elfzo 13035	. . 3 ⊢ (((𝑍 + 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐼) ∈ ℤ) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)) ↔ (𝑀 ≤ (𝑍 + 𝐼) ∧ (𝑍 + 𝐼) < (𝑁 + 𝐼))))
38	22, 28, 37	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑍 + 𝐼) ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  ccatalpha  13938