Theorem fzosubel 13266

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))

Proof of Theorem fzosubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12177	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
2		fzoaddel 13260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) ∈ ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)))
3	1, 2	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) ∈ ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)))
4		elfzoelz 13208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	6, 8	negsubd 11160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 + -𝐷) = (𝐴 − 𝐷))
10		elfzoel1 13206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12, 8	negsubd 11160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
14		elfzoel2 13207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16, 8	negsubd 11160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
18	13, 17	oveq12d 7209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 + -𝐷)..^(𝐶 + -𝐷)) = ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))
19	3, 9, 18	3eltr3d 2845	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ((𝐵 − 𝐷)..^(𝐶 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191   + caddc 10697   − cmin 11027  -cneg 11028  ℤcz 12141  ..^cfzo 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204

This theorem is referenced by:  fzosubel2  13267  fzocatel  13271  ccatpfx  14231  fzom1ne1  30796  cycpmco2lem6  31071