Theorem fzofzp1 13682

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13575	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12523	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13635	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3933	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13576	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13652	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425  ..^cfzo 13572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13683  seqcaopr3  13962  seqcaopr2  13963  seqf1olem2a  13965  swrds1  14592  swrds2  14865  telfsumo  15727  telfsumo2  15728  fsumparts  15731  prodfn0  15819  prodfrec  15820  chnlt  18548  psgnunilem2  19426  gsumzaddlem  19852  dvfsumle  25984  dvfsumleOLD  25985  dvfsumge  25986  dvfsumabs  25987  dvntaylp  26337  taylthlem2  26340  taylthlem2OLD  26341  pntlemr  27571  pntlemj  27572  uspgr2wlkeq  29700  wlkres  29723  wlkp1lem6  29731  pthdadjvtx  29782  upgrwlkdvdelem  29790  crctcshwlkn0lem4  29867  crctcshwlkn0lem5  29868  wwlksnred  29946  trlsegvdeglem1  30276  gsummulsubdishift2  33131  gsummulsubdishift1s  33132  gsummulsubdishift2s  33133  cycpmco2f1  33185  cycpmco2rn  33186  cycpmco2lem2  33188  cycpmco2lem3  33189  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  cycpmco2  33194  vietalem  33714  pfxwlk  35297  poimirlem24  37814  poimirlem25  37815  poimirlem29  37819  poimirlem31  37821  monoords  45582  fmul01  45863  dvnmptdivc  46219  dvnmul  46224  stoweidlem3  46284  fourierdlem1  46389  fourierdlem12  46400  fourierdlem14  46402  fourierdlem15  46403  fourierdlem20  46408  fourierdlem25  46413  fourierdlem27  46415  fourierdlem41  46429  fourierdlem46  46433  fourierdlem48  46435  fourierdlem49  46436  fourierdlem50  46437  fourierdlem54  46441  fourierdlem63  46450  fourierdlem64  46451  fourierdlem65  46452  fourierdlem69  46456  fourierdlem70  46457  fourierdlem71  46458  fourierdlem72  46459  fourierdlem73  46460  fourierdlem74  46461  fourierdlem75  46462  fourierdlem76  46463  fourierdlem79  46466  fourierdlem80  46467  fourierdlem81  46468  fourierdlem84  46471  fourierdlem88  46475  fourierdlem89  46476  fourierdlem90  46477  fourierdlem91  46478  fourierdlem92  46479  fourierdlem93  46480  fourierdlem94  46481  fourierdlem97  46484  fourierdlem101  46488  fourierdlem102  46489  fourierdlem103  46490  fourierdlem104  46491  fourierdlem111  46498  fourierdlem113  46500  fourierdlem114  46501  chnerlem2  47164  fzopred  47605  iccpartipre  47704  iccelpart  47716  iccpartiun  47717  icceuelpartlem  47718  icceuelpart  47719  iccpartdisj  47720  iccpartnel  47721  bgoldbtbndlem2  48089  bgoldbtbndlem3  48090  upgrimwlklem5  48184