MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzp1 13122
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 13024 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 uzid 12246 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3 peano2uz 12289 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
4 fzoss1 13052 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6 1z 12000 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 13078 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
86, 7mpan2 687 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
95, 8sseldd 3965 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10 elfzoel2 13025 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 fzval3 13094 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
139, 12eleqtrrd 2913 1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13123  seqcaopr3  13393  seqcaopr2  13394  seqf1olem2a  13396  swrds1  14016  swrds2  14290  telfsumo  15145  telfsumo2  15146  fsumparts  15149  prodfn0  15238  prodfrec  15239  psgnunilem2  18552  gsumzaddlem  18970  dvfsumle  24545  dvfsumge  24546  dvfsumabs  24547  dvntaylp  24886  taylthlem2  24889  pntlemr  26105  pntlemj  26106  uspgr2wlkeq  27354  wlkres  27379  wlkp1lem6  27387  pthdadjvtx  27438  upgrwlkdvdelem  27444  crctcshwlkn0lem4  27518  crctcshwlkn0lem5  27519  wwlksnred  27597  trlsegvdeglem1  27926  cycpmco2f1  30693  cycpmco2rn  30694  cycpmco2lem2  30696  cycpmco2lem3  30697  cycpmco2lem4  30698  cycpmco2lem5  30699  cycpmco2lem6  30700  cycpmco2lem7  30701  cycpmco2  30702  pfxwlk  32267  poimirlem24  34797  poimirlem25  34798  poimirlem29  34802  poimirlem31  34804  monoords  41440  fmul01  41737  dvnmptdivc  42099  dvnmul  42104  stoweidlem3  42165  fourierdlem1  42270  fourierdlem12  42281  fourierdlem14  42283  fourierdlem15  42284  fourierdlem20  42289  fourierdlem25  42294  fourierdlem27  42296  fourierdlem41  42310  fourierdlem46  42314  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem50  42318  fourierdlem54  42322  fourierdlem63  42331  fourierdlem64  42332  fourierdlem65  42333  fourierdlem69  42337  fourierdlem70  42338  fourierdlem71  42339  fourierdlem72  42340  fourierdlem73  42341  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem76  42344  fourierdlem79  42347  fourierdlem80  42348  fourierdlem81  42349  fourierdlem84  42352  fourierdlem88  42356  fourierdlem89  42357  fourierdlem90  42358  fourierdlem91  42359  fourierdlem92  42360  fourierdlem93  42361  fourierdlem94  42362  fourierdlem97  42365  fourierdlem101  42369  fourierdlem102  42370  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem111  42379  fourierdlem113  42381  fourierdlem114  42382  fzopred  43399  iccpartipre  43458  iccelpart  43470  iccpartiun  43471  icceuelpartlem  43472  icceuelpart  43473  iccpartdisj  43474  iccpartnel  43475  bgoldbtbndlem2  43848  bgoldbtbndlem3  43849
  Copyright terms: Public domain W3C validator