MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzp1 13129
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 13031 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 uzid 12252 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3 peano2uz 12295 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
4 fzoss1 13059 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6 1z 12006 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 13085 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
86, 7mpan2 687 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
95, 8sseldd 3972 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10 elfzoel2 13032 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 fzval3 13101 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
139, 12eleqtrrd 2921 1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  cfv 6354  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029
This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13130  seqcaopr3  13400  seqcaopr2  13401  seqf1olem2a  13403  swrds1  14023  swrds2  14297  telfsumo  15152  telfsumo2  15153  fsumparts  15156  prodfn0  15245  prodfrec  15246  psgnunilem2  18559  gsumzaddlem  18977  dvfsumle  24552  dvfsumge  24553  dvfsumabs  24554  dvntaylp  24893  taylthlem2  24896  pntlemr  26111  pntlemj  26112  uspgr2wlkeq  27360  wlkres  27385  wlkp1lem6  27393  pthdadjvtx  27444  upgrwlkdvdelem  27450  crctcshwlkn0lem4  27524  crctcshwlkn0lem5  27525  wwlksnred  27603  trlsegvdeglem1  27932  cycpmco2f1  30699  cycpmco2rn  30700  cycpmco2lem2  30702  cycpmco2lem3  30703  cycpmco2lem4  30704  cycpmco2lem5  30705  cycpmco2lem6  30706  cycpmco2lem7  30707  cycpmco2  30708  pfxwlk  32273  poimirlem24  34802  poimirlem25  34803  poimirlem29  34807  poimirlem31  34809  monoords  41448  fmul01  41745  dvnmptdivc  42107  dvnmul  42112  stoweidlem3  42173  fourierdlem1  42278  fourierdlem12  42289  fourierdlem14  42291  fourierdlem15  42292  fourierdlem20  42297  fourierdlem25  42302  fourierdlem27  42304  fourierdlem41  42318  fourierdlem46  42322  fourierdlem48  42324  fourierdlem49  42325  fourierdlem50  42326  fourierdlem54  42330  fourierdlem63  42339  fourierdlem64  42340  fourierdlem65  42341  fourierdlem69  42345  fourierdlem70  42346  fourierdlem71  42347  fourierdlem72  42348  fourierdlem73  42349  fourierdlem74  42350  fourierdlem75  42351  fourierdlem76  42352  fourierdlem79  42355  fourierdlem80  42356  fourierdlem81  42357  fourierdlem84  42360  fourierdlem88  42364  fourierdlem89  42365  fourierdlem90  42366  fourierdlem91  42367  fourierdlem92  42368  fourierdlem93  42369  fourierdlem94  42370  fourierdlem97  42373  fourierdlem101  42377  fourierdlem102  42378  fourierdlem103  42379  fourierdlem104  42380  fourierdlem111  42387  fourierdlem113  42389  fourierdlem114  42390  fzopred  43407  iccpartipre  43432  iccelpart  43444  iccpartiun  43445  icceuelpartlem  43446  icceuelpart  43447  iccpartdisj  43448  iccpartnel  43449  bgoldbtbndlem2  43822  bgoldbtbndlem3  43823
  Copyright terms: Public domain W3C validator