Theorem fzofzp1 13129

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13031	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12000	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13085	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3916	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13032	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13101	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2893	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13130  seqcaopr3  13401  seqcaopr2  13402  seqf1olem2a  13404  swrds1  14019  swrds2  14293  telfsumo  15149  telfsumo2  15150  fsumparts  15153  prodfn0  15242  prodfrec  15243  psgnunilem2  18615  gsumzaddlem  19034  dvfsumle  24624  dvfsumge  24625  dvfsumabs  24626  dvntaylp  24966  taylthlem2  24969  pntlemr  26186  pntlemj  26187  uspgr2wlkeq  27435  wlkres  27460  wlkp1lem6  27468  pthdadjvtx  27519  upgrwlkdvdelem  27525  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0lem5  27600  wwlksnred  27678  trlsegvdeglem1  28005  cycpmco2f1  30816  cycpmco2rn  30817  cycpmco2lem2  30819  cycpmco2lem3  30820  cycpmco2lem4  30821  cycpmco2lem5  30822  cycpmco2lem6  30823  cycpmco2lem7  30824  cycpmco2  30825  pfxwlk  32483  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem29  35086  poimirlem31  35088  monoords  41929  fmul01  42222  dvnmptdivc  42580  dvnmul  42585  stoweidlem3  42645  fourierdlem1  42750  fourierdlem12  42761  fourierdlem14  42763  fourierdlem15  42764  fourierdlem20  42769  fourierdlem25  42774  fourierdlem27  42776  fourierdlem41  42790  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem69  42817  fourierdlem70  42818  fourierdlem71  42819  fourierdlem72  42820  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem79  42827  fourierdlem80  42828  fourierdlem81  42829  fourierdlem84  42832  fourierdlem88  42836  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fourierdlem92  42840  fourierdlem93  42841  fourierdlem94  42842  fourierdlem97  42845  fourierdlem101  42849  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierdlem113  42861  fourierdlem114  42862  fzopred  43879  iccpartipre  43938  iccelpart  43950  iccpartiun  43951  icceuelpartlem  43952  icceuelpart  43953  iccpartdisj  43954  iccpartnel  43955  bgoldbtbndlem2  44324  bgoldbtbndlem3  44325