Theorem fzofzp1 13785

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13679	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13708	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13738	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3964	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13680	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13755	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13786  seqcaopr3  14060  seqcaopr2  14061  seqf1olem2a  14063  swrds1  14689  swrds2  14964  telfsumo  15823  telfsumo2  15824  fsumparts  15827  prodfn0  15915  prodfrec  15916  psgnunilem2  19481  gsumzaddlem  19907  dvfsumle  25983  dvfsumleOLD  25984  dvfsumge  25985  dvfsumabs  25986  dvntaylp  26336  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  pntlemr  27570  pntlemj  27571  uspgr2wlkeq  29631  wlkres  29655  wlkp1lem6  29663  pthdadjvtx  29715  upgrwlkdvdelem  29723  crctcshwlkn0lem4  29800  crctcshwlkn0lem5  29801  wwlksnred  29879  trlsegvdeglem1  30206  chnlt  32998  cycpmco2f1  33140  cycpmco2rn  33141  cycpmco2lem2  33143  cycpmco2lem3  33144  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem5  33146  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2lem7  33148  cycpmco2  33149  pfxwlk  35151  poimirlem24  37673  poimirlem25  37674  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  monoords  45306  fmul01  45589  dvnmptdivc  45947  dvnmul  45952  stoweidlem3  46012  fourierdlem1  46117  fourierdlem12  46128  fourierdlem14  46130  fourierdlem15  46131  fourierdlem20  46136  fourierdlem25  46141  fourierdlem27  46143  fourierdlem41  46157  fourierdlem46  46161  fourierdlem48  46163  fourierdlem49  46164  fourierdlem50  46165  fourierdlem54  46169  fourierdlem63  46178  fourierdlem64  46179  fourierdlem65  46180  fourierdlem69  46184  fourierdlem70  46185  fourierdlem71  46186  fourierdlem72  46187  fourierdlem73  46188  fourierdlem74  46189  fourierdlem75  46190  fourierdlem76  46191  fourierdlem79  46194  fourierdlem80  46195  fourierdlem81  46196  fourierdlem84  46199  fourierdlem88  46203  fourierdlem89  46204  fourierdlem90  46205  fourierdlem91  46206  fourierdlem92  46207  fourierdlem93  46208  fourierdlem94  46209  fourierdlem97  46212  fourierdlem101  46216  fourierdlem102  46217  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  fourierdlem111  46226  fourierdlem113  46228  fourierdlem114  46229  fzopred  47331  iccpartipre  47415  iccelpart  47427  iccpartiun  47428  icceuelpartlem  47429  icceuelpart  47430  iccpartdisj  47431  iccpartnel  47432  bgoldbtbndlem2  47800  bgoldbtbndlem3  47801  upgrimwlklem5  47894