Theorem fzofzp1 13793

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13685	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13715	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12624	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13746	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3944	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13686	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13763	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2872	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13794  seqcaopr3  14073  seqcaopr2  14074  seqf1olem2a  14076  swrds1  14704  swrds2  14977  telfsumo  15854  telfsumo2  15855  fsumparts  15858  prodfn0  15948  prodfrec  15949  chnlt  18679  psgnunilem2  19565  gsumzaddlem  19991  dvfsumle  26149  dvfsumge  26150  dvfsumabs  26151  dvntaylp  26500  taylthlem2  26503  pntlemr  27732  pntlemj  27733  uspgr2wlkeq  29936  wlkres  29959  wlkp1lem6  29967  pthdadjvtx  30018  upgrwlkdvdelem  30026  crctcshwlkn0lem4  30103  crctcshwlkn0lem5  30104  wwlksnred  30182  trlsegvdeglem1  30512  gsummulsubdishift2  33330  gsummulsubdishift1s  33331  gsummulsubdishift2s  33332  cycpmco2f1  33385  cycpmco2rn  33386  cycpmco2lem2  33388  cycpmco2lem3  33389  cycpmco2lem4  33390  cycpmco2lem5  33391  cycpmco2lem6  33392  cycpmco2lem7  33393  cycpmco2  33394  vietalem  33914  pfxwlk  35549  poimirlem24  38218  poimirlem25  38219  poimirlem29  38223  poimirlem31  38225  monoords  45943  fmul01  46223  dvnmptdivc  46579  dvnmul  46584  stoweidlem3  46644  fourierdlem1  46749  fourierdlem12  46760  fourierdlem14  46762  fourierdlem15  46763  fourierdlem20  46768  fourierdlem25  46773  fourierdlem27  46775  fourierdlem41  46789  fourierdlem46  46793  fourierdlem48  46795  fourierdlem49  46796  fourierdlem50  46797  fourierdlem54  46801  fourierdlem63  46810  fourierdlem64  46811  fourierdlem65  46812  fourierdlem69  46816  fourierdlem70  46817  fourierdlem71  46818  fourierdlem72  46819  fourierdlem73  46820  fourierdlem74  46821  fourierdlem75  46822  fourierdlem76  46823  fourierdlem79  46826  fourierdlem80  46827  fourierdlem81  46828  fourierdlem84  46831  fourierdlem88  46835  fourierdlem89  46836  fourierdlem90  46837  fourierdlem91  46838  fourierdlem92  46839  fourierdlem93  46840  fourierdlem94  46841  fourierdlem97  46844  fourierdlem101  46848  fourierdlem102  46849  fourierdlem103  46850  fourierdlem104  46851  fourierdlem111  46858  fourierdlem113  46860  fourierdlem114  46861  chnerlem2  47526  fzopred  47984  iccpartipre  48094  iccelpart  48106  iccpartiun  48107  icceuelpartlem  48108  icceuelpart  48109  iccpartdisj  48110  iccpartnel  48111  bgoldbtbndlem2  48495  bgoldbtbndlem3  48496  upgrimwlklem5  48590