Theorem fzofzp1 13733

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13634	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12841	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13663	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12596	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13689	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3983	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13635	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13705	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13734  seqcaopr3  14007  seqcaopr2  14008  seqf1olem2a  14010  swrds1  14620  swrds2  14895  telfsumo  15752  telfsumo2  15753  fsumparts  15756  prodfn0  15844  prodfrec  15845  psgnunilem2  19404  gsumzaddlem  19830  dvfsumle  25762  dvfsumge  25763  dvfsumabs  25764  dvntaylp  26107  taylthlem2  26110  pntlemr  27329  pntlemj  27330  uspgr2wlkeq  29158  wlkres  29182  wlkp1lem6  29190  pthdadjvtx  29242  upgrwlkdvdelem  29248  crctcshwlkn0lem4  29322  crctcshwlkn0lem5  29323  wwlksnred  29401  trlsegvdeglem1  29728  cycpmco2f1  32541  cycpmco2rn  32542  cycpmco2lem2  32544  cycpmco2lem3  32545  cycpmco2lem4  32546  cycpmco2lem5  32547  cycpmco2lem6  32548  cycpmco2lem7  32549  cycpmco2  32550  pfxwlk  34400  gg-dvfsumle  35468  poimirlem24  36815  poimirlem25  36816  poimirlem29  36820  poimirlem31  36822  monoords  44306  fmul01  44595  dvnmptdivc  44953  dvnmul  44958  stoweidlem3  45018  fourierdlem1  45123  fourierdlem12  45134  fourierdlem14  45136  fourierdlem15  45137  fourierdlem20  45142  fourierdlem25  45147  fourierdlem27  45149  fourierdlem41  45163  fourierdlem46  45167  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem50  45171  fourierdlem54  45175  fourierdlem63  45184  fourierdlem64  45185  fourierdlem65  45186  fourierdlem69  45190  fourierdlem70  45191  fourierdlem71  45192  fourierdlem72  45193  fourierdlem73  45194  fourierdlem74  45195  fourierdlem75  45196  fourierdlem76  45197  fourierdlem79  45200  fourierdlem80  45201  fourierdlem81  45202  fourierdlem84  45205  fourierdlem88  45209  fourierdlem89  45210  fourierdlem90  45211  fourierdlem91  45212  fourierdlem92  45213  fourierdlem93  45214  fourierdlem94  45215  fourierdlem97  45218  fourierdlem101  45222  fourierdlem102  45223  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem111  45232  fourierdlem113  45234  fourierdlem114  45235  fzopred  46329  iccpartipre  46388  iccelpart  46400  iccpartiun  46401  icceuelpartlem  46402  icceuelpart  46403  iccpartdisj  46404  iccpartnel  46405  bgoldbtbndlem2  46773  bgoldbtbndlem3  46774