Theorem fzofzp1 13708

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13600	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12546	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13661	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3918	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13601	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13678	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1c1 11028   + caddc 11030  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13709  seqcaopr3  13988  seqcaopr2  13989  seqf1olem2a  13991  swrds1  14618  swrds2  14891  telfsumo  15754  telfsumo2  15755  fsumparts  15758  prodfn0  15848  prodfrec  15849  chnlt  18578  psgnunilem2  19459  gsumzaddlem  19885  dvfsumle  25976  dvfsumge  25977  dvfsumabs  25978  dvntaylp  26324  taylthlem2  26327  pntlemr  27553  pntlemj  27554  uspgr2wlkeq  29702  wlkres  29725  wlkp1lem6  29733  pthdadjvtx  29784  upgrwlkdvdelem  29792  crctcshwlkn0lem4  29869  crctcshwlkn0lem5  29870  wwlksnred  29948  trlsegvdeglem1  30278  gsummulsubdishift2  33118  gsummulsubdishift1s  33119  gsummulsubdishift2s  33120  cycpmco2f1  33173  cycpmco2rn  33174  cycpmco2lem2  33176  cycpmco2lem3  33177  cycpmco2lem4  33178  cycpmco2lem5  33179  cycpmco2lem6  33180  cycpmco2lem7  33181  cycpmco2  33182  vietalem  33711  pfxwlk  35294  poimirlem24  37953  poimirlem25  37954  poimirlem29  37958  poimirlem31  37960  monoords  45718  fmul01  45998  dvnmptdivc  46354  dvnmul  46359  stoweidlem3  46419  fourierdlem1  46524  fourierdlem12  46535  fourierdlem14  46537  fourierdlem15  46538  fourierdlem20  46543  fourierdlem25  46548  fourierdlem27  46550  fourierdlem41  46564  fourierdlem46  46568  fourierdlem48  46570  fourierdlem49  46571  fourierdlem50  46572  fourierdlem54  46576  fourierdlem63  46585  fourierdlem64  46586  fourierdlem65  46587  fourierdlem69  46591  fourierdlem70  46592  fourierdlem71  46593  fourierdlem72  46594  fourierdlem73  46595  fourierdlem74  46596  fourierdlem75  46597  fourierdlem76  46598  fourierdlem79  46601  fourierdlem80  46602  fourierdlem81  46603  fourierdlem84  46606  fourierdlem88  46610  fourierdlem89  46611  fourierdlem90  46612  fourierdlem91  46613  fourierdlem92  46614  fourierdlem93  46615  fourierdlem94  46616  fourierdlem97  46619  fourierdlem101  46623  fourierdlem102  46624  fourierdlem103  46625  fourierdlem104  46626  fourierdlem111  46633  fourierdlem113  46635  fourierdlem114  46636  chnerlem2  47301  fzopred  47759  iccpartipre  47869  iccelpart  47881  iccpartiun  47882  icceuelpartlem  47883  icceuelpart  47884  iccpartdisj  47885  iccpartnel  47886  bgoldbtbndlem2  48270  bgoldbtbndlem3  48271  upgrimwlklem5  48365