Theorem fzofzp1 13729

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13630	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12885	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13659	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12592	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13685	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3984	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13631	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13701	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2837	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13730  seqcaopr3  14003  seqcaopr2  14004  seqf1olem2a  14006  swrds1  14616  swrds2  14891  telfsumo  15748  telfsumo2  15749  fsumparts  15752  prodfn0  15840  prodfrec  15841  psgnunilem2  19363  gsumzaddlem  19789  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumabs  25540  dvntaylp  25883  taylthlem2  25886  pntlemr  27105  pntlemj  27106  uspgr2wlkeq  28934  wlkres  28958  wlkp1lem6  28966  pthdadjvtx  29018  upgrwlkdvdelem  29024  crctcshwlkn0lem4  29098  crctcshwlkn0lem5  29099  wwlksnred  29177  trlsegvdeglem1  29504  cycpmco2f1  32314  cycpmco2rn  32315  cycpmco2lem2  32317  cycpmco2lem3  32318  cycpmco2lem4  32319  cycpmco2lem5  32320  cycpmco2lem6  32321  cycpmco2lem7  32322  cycpmco2  32323  pfxwlk  34145  gg-dvfsumle  35213  poimirlem24  36560  poimirlem25  36561  poimirlem29  36565  poimirlem31  36567  monoords  44055  fmul01  44344  dvnmptdivc  44702  dvnmul  44707  stoweidlem3  44767  fourierdlem1  44872  fourierdlem12  44883  fourierdlem14  44885  fourierdlem15  44886  fourierdlem20  44891  fourierdlem25  44896  fourierdlem27  44898  fourierdlem41  44912  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem50  44920  fourierdlem54  44924  fourierdlem63  44933  fourierdlem64  44934  fourierdlem65  44935  fourierdlem69  44939  fourierdlem70  44940  fourierdlem71  44941  fourierdlem72  44942  fourierdlem73  44943  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem76  44946  fourierdlem79  44949  fourierdlem80  44950  fourierdlem81  44951  fourierdlem84  44954  fourierdlem88  44958  fourierdlem89  44959  fourierdlem90  44960  fourierdlem91  44961  fourierdlem92  44962  fourierdlem93  44963  fourierdlem94  44964  fourierdlem97  44967  fourierdlem101  44971  fourierdlem102  44972  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem111  44981  fourierdlem113  44983  fourierdlem114  44984  fzopred  46078  iccpartipre  46137  iccelpart  46149  iccpartiun  46150  icceuelpartlem  46151  icceuelpart  46152  iccpartdisj  46153  iccpartnel  46154  bgoldbtbndlem2  46522  bgoldbtbndlem3  46523