Theorem fzofzp1 13703

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13596	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12541	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13656	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3944	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13597	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13673	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11047   + caddc 11049  ℤcz 12507  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446  ..^cfzo 13593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13704  seqcaopr3  13980  seqcaopr2  13981  seqf1olem2a  13983  swrds1  14609  swrds2  14883  telfsumo  15745  telfsumo2  15746  fsumparts  15749  prodfn0  15837  prodfrec  15838  psgnunilem2  19410  gsumzaddlem  19836  dvfsumle  25960  dvfsumleOLD  25961  dvfsumge  25962  dvfsumabs  25963  dvntaylp  26313  taylthlem2  26316  taylthlem2OLD  26317  pntlemr  27547  pntlemj  27548  uspgr2wlkeq  29627  wlkres  29650  wlkp1lem6  29658  pthdadjvtx  29709  upgrwlkdvdelem  29717  crctcshwlkn0lem4  29794  crctcshwlkn0lem5  29795  wwlksnred  29873  trlsegvdeglem1  30200  chnlt  32986  cycpmco2f1  33097  cycpmco2rn  33098  cycpmco2lem2  33100  cycpmco2lem3  33101  cycpmco2lem4  33102  cycpmco2lem5  33103  cycpmco2lem6  33104  cycpmco2lem7  33105  cycpmco2  33106  pfxwlk  35105  poimirlem24  37632  poimirlem25  37633  poimirlem29  37637  poimirlem31  37639  monoords  45289  fmul01  45572  dvnmptdivc  45930  dvnmul  45935  stoweidlem3  45995  fourierdlem1  46100  fourierdlem12  46111  fourierdlem14  46113  fourierdlem15  46114  fourierdlem20  46119  fourierdlem25  46124  fourierdlem27  46126  fourierdlem41  46140  fourierdlem46  46144  fourierdlem48  46146  fourierdlem49  46147  fourierdlem50  46148  fourierdlem54  46152  fourierdlem63  46161  fourierdlem64  46162  fourierdlem65  46163  fourierdlem69  46167  fourierdlem70  46168  fourierdlem71  46169  fourierdlem72  46170  fourierdlem73  46171  fourierdlem74  46172  fourierdlem75  46173  fourierdlem76  46174  fourierdlem79  46177  fourierdlem80  46178  fourierdlem81  46179  fourierdlem84  46182  fourierdlem88  46186  fourierdlem89  46187  fourierdlem90  46188  fourierdlem91  46189  fourierdlem92  46190  fourierdlem93  46191  fourierdlem94  46192  fourierdlem97  46195  fourierdlem101  46199  fourierdlem102  46200  fourierdlem103  46201  fourierdlem104  46202  fourierdlem111  46209  fourierdlem113  46211  fourierdlem114  46212  fzopred  47317  iccpartipre  47416  iccelpart  47428  iccpartiun  47429  icceuelpartlem  47430  icceuelpart  47431  iccpartdisj  47432  iccpartnel  47433  bgoldbtbndlem2  47801  bgoldbtbndlem3  47802  upgrimwlklem5  47895