Theorem fzofzp1 13803

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13697	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12893	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12943	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13726	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12647	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13756	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3984	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13698	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13773	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2844	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13804  seqcaopr3  14078  seqcaopr2  14079  seqf1olem2a  14081  swrds1  14704  swrds2  14979  telfsumo  15838  telfsumo2  15839  fsumparts  15842  prodfn0  15930  prodfrec  15931  psgnunilem2  19513  gsumzaddlem  19939  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  dvntaylp  26413  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  pntlemr  27646  pntlemj  27647  uspgr2wlkeq  29664  wlkres  29688  wlkp1lem6  29696  pthdadjvtx  29748  upgrwlkdvdelem  29756  crctcshwlkn0lem4  29833  crctcshwlkn0lem5  29834  wwlksnred  29912  trlsegvdeglem1  30239  chnlt  33003  cycpmco2f1  33144  cycpmco2rn  33145  cycpmco2lem2  33147  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2lem7  33152  cycpmco2  33153  pfxwlk  35129  poimirlem24  37651  poimirlem25  37652  poimirlem29  37656  poimirlem31  37658  monoords  45309  fmul01  45595  dvnmptdivc  45953  dvnmul  45958  stoweidlem3  46018  fourierdlem1  46123  fourierdlem12  46134  fourierdlem14  46136  fourierdlem15  46137  fourierdlem20  46142  fourierdlem25  46147  fourierdlem27  46149  fourierdlem41  46163  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem50  46171  fourierdlem54  46175  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem69  46190  fourierdlem70  46191  fourierdlem71  46192  fourierdlem72  46193  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem79  46200  fourierdlem80  46201  fourierdlem81  46202  fourierdlem84  46205  fourierdlem88  46209  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem92  46213  fourierdlem93  46214  fourierdlem94  46215  fourierdlem97  46218  fourierdlem101  46222  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem113  46234  fourierdlem114  46235  fzopred  47334  iccpartipre  47408  iccelpart  47420  iccpartiun  47421  icceuelpartlem  47422  icceuelpart  47423  iccpartdisj  47424  iccpartnel  47425  bgoldbtbndlem2  47793  bgoldbtbndlem3  47794