Theorem fzofzp1 13704

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13597	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12839	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12542	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13657	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3944	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13598	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13674	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  1c1 11048   + caddc 11050  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  ...cfz 13447  ..^cfzo 13594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13448  df-fzo 13595

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13705  seqcaopr3  13981  seqcaopr2  13982  seqf1olem2a  13984  swrds1  14610  swrds2  14884  telfsumo  15746  telfsumo2  15747  fsumparts  15750  prodfn0  15838  prodfrec  15839  psgnunilem2  19411  gsumzaddlem  19837  dvfsumle  25961  dvfsumleOLD  25962  dvfsumge  25963  dvfsumabs  25964  dvntaylp  26314  taylthlem2  26317  taylthlem2OLD  26318  pntlemr  27548  pntlemj  27549  uspgr2wlkeq  29628  wlkres  29651  wlkp1lem6  29659  pthdadjvtx  29710  upgrwlkdvdelem  29718  crctcshwlkn0lem4  29795  crctcshwlkn0lem5  29796  wwlksnred  29874  trlsegvdeglem1  30201  chnlt  32987  cycpmco2f1  33098  cycpmco2rn  33099  cycpmco2lem2  33101  cycpmco2lem3  33102  cycpmco2lem4  33103  cycpmco2lem5  33104  cycpmco2lem6  33105  cycpmco2lem7  33106  cycpmco2  33107  pfxwlk  35106  poimirlem24  37633  poimirlem25  37634  poimirlem29  37638  poimirlem31  37640  monoords  45290  fmul01  45573  dvnmptdivc  45931  dvnmul  45936  stoweidlem3  45996  fourierdlem1  46101  fourierdlem12  46112  fourierdlem14  46114  fourierdlem15  46115  fourierdlem20  46120  fourierdlem25  46125  fourierdlem27  46127  fourierdlem41  46141  fourierdlem46  46145  fourierdlem48  46147  fourierdlem49  46148  fourierdlem50  46149  fourierdlem54  46153  fourierdlem63  46162  fourierdlem64  46163  fourierdlem65  46164  fourierdlem69  46168  fourierdlem70  46169  fourierdlem71  46170  fourierdlem72  46171  fourierdlem73  46172  fourierdlem74  46173  fourierdlem75  46174  fourierdlem76  46175  fourierdlem79  46178  fourierdlem80  46179  fourierdlem81  46180  fourierdlem84  46183  fourierdlem88  46187  fourierdlem89  46188  fourierdlem90  46189  fourierdlem91  46190  fourierdlem92  46191  fourierdlem93  46192  fourierdlem94  46193  fourierdlem97  46196  fourierdlem101  46200  fourierdlem102  46201  fourierdlem103  46202  fourierdlem104  46203  fourierdlem111  46210  fourierdlem113  46212  fourierdlem114  46213  fzopred  47318  iccpartipre  47417  iccelpart  47429  iccpartiun  47430  icceuelpartlem  47431  icceuelpart  47432  iccpartdisj  47433  iccpartnel  47434  bgoldbtbndlem2  47802  bgoldbtbndlem3  47803  upgrimwlklem5  47896