Theorem fzofzp1 13736

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13637	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12892	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13666	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12599	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13692	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3983	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13638	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13708	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2835	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13737  seqcaopr3  14010  seqcaopr2  14011  seqf1olem2a  14013  swrds1  14623  swrds2  14898  telfsumo  15755  telfsumo2  15756  fsumparts  15759  prodfn0  15847  prodfrec  15848  psgnunilem2  19411  gsumzaddlem  19837  dvfsumle  25873  dvfsumleOLD  25874  dvfsumge  25875  dvfsumabs  25876  dvntaylp  26221  taylthlem2  26224  pntlemr  27447  pntlemj  27448  uspgr2wlkeq  29335  wlkres  29359  wlkp1lem6  29367  pthdadjvtx  29419  upgrwlkdvdelem  29425  crctcshwlkn0lem4  29499  crctcshwlkn0lem5  29500  wwlksnred  29578  trlsegvdeglem1  29905  cycpmco2f1  32718  cycpmco2rn  32719  cycpmco2lem2  32721  cycpmco2lem3  32722  cycpmco2lem4  32723  cycpmco2lem5  32724  cycpmco2lem6  32725  cycpmco2lem7  32726  cycpmco2  32727  pfxwlk  34577  poimirlem24  36975  poimirlem25  36976  poimirlem29  36980  poimirlem31  36982  monoords  44465  fmul01  44754  dvnmptdivc  45112  dvnmul  45117  stoweidlem3  45177  fourierdlem1  45282  fourierdlem12  45293  fourierdlem14  45295  fourierdlem15  45296  fourierdlem20  45301  fourierdlem25  45306  fourierdlem27  45308  fourierdlem41  45322  fourierdlem46  45326  fourierdlem48  45328  fourierdlem49  45329  fourierdlem50  45330  fourierdlem54  45334  fourierdlem63  45343  fourierdlem64  45344  fourierdlem65  45345  fourierdlem69  45349  fourierdlem70  45350  fourierdlem71  45351  fourierdlem72  45352  fourierdlem73  45353  fourierdlem74  45354  fourierdlem75  45355  fourierdlem76  45356  fourierdlem79  45359  fourierdlem80  45360  fourierdlem81  45361  fourierdlem84  45364  fourierdlem88  45368  fourierdlem89  45369  fourierdlem90  45370  fourierdlem91  45371  fourierdlem92  45372  fourierdlem93  45373  fourierdlem94  45374  fourierdlem97  45377  fourierdlem101  45381  fourierdlem102  45382  fourierdlem103  45383  fourierdlem104  45384  fourierdlem111  45391  fourierdlem113  45393  fourierdlem114  45394  fzopred  46488  iccpartipre  46547  iccelpart  46559  iccpartiun  46560  icceuelpartlem  46561  icceuelpart  46562  iccpartdisj  46563  iccpartnel  46564  bgoldbtbndlem2  46932  bgoldbtbndlem3  46933