Theorem fzofzp1 13853

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13745	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12681	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13806	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13746	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13823	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1c1 11158   + caddc 11160  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ..^cfzo 13742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743

This theorem is used by:  fzofzp1b  13854  seqcaopr3  14134  seqcaopr2  14135  seqf1olem2a  14137  swrds1  14769  swrds2  15044  telfsumo  15922  telfsumo2  15923  fsumparts  15926  prodfn0  16016  prodfrec  16017  chnlt  18744  psgnunilem2  19656  gsumzaddlem  20082  dvfsumle  26288  dvfsumge  26289  dvfsumabs  26290  dvntaylp  26647  taylthlem2  26650  pntlemr  27878  pntlemj  27879  uspgr2wlkeq  30145  wlkres  30168  wlkp1lem6  30176  pfxwlk  30185  pthdadjvtx  30232  upgrwlkdvdelem  30241  crctcshwlkn0lem4  30321  crctcshwlkn0lem5  30322  wwlksnred  30400  trlsegvdeglem1  30740  gsummulsubdishift2  33549  gsummulsubdishift1s  33550  gsummulsubdishift2s  33551  cycpmco2f1  33604  cycpmco2rn  33605  cycpmco2lem2  33607  cycpmco2lem3  33608  cycpmco2lem4  33609  cycpmco2lem5  33610  cycpmco2lem6  33611  cycpmco2lem7  33612  cycpmco2  33613  vietalem  34130  poimirlem24  38476  poimirlem25  38477  poimirlem29  38481  poimirlem31  38483  monoords  46228  fmul01  46508  dvnmptdivc  46864  dvnmul  46869  stoweidlem3  46929  fourierdlem1  47034  fourierdlem12  47045  fourierdlem14  47047  fourierdlem15  47048  fourierdlem20  47053  fourierdlem25  47058  fourierdlem27  47060  fourierdlem41  47074  fourierdlem46  47078  fourierdlem48  47080  fourierdlem49  47081  fourierdlem50  47082  fourierdlem54  47086  fourierdlem63  47095  fourierdlem64  47096  fourierdlem65  47097  fourierdlem69  47101  fourierdlem70  47102  fourierdlem71  47103  fourierdlem72  47104  fourierdlem73  47105  fourierdlem74  47106  fourierdlem75  47107  fourierdlem76  47108  fourierdlem79  47111  fourierdlem80  47112  fourierdlem81  47113  fourierdlem84  47116  fourierdlem88  47120  fourierdlem89  47121  fourierdlem90  47122  fourierdlem91  47123  fourierdlem92  47124  fourierdlem93  47125  fourierdlem94  47126  fourierdlem97  47129  fourierdlem101  47133  fourierdlem102  47134  fourierdlem103  47135  fourierdlem104  47136  fourierdlem111  47143  fourierdlem113  47145  fourierdlem114  47146  chnerlem2  47809  fzopred  48309  iccpartipre  48419  iccelpart  48431  iccpartiun  48432  icceuelpartlem  48433  icceuelpart  48434  iccpartdisj  48435  iccpartnel  48436  bgoldbtbndlem2  48820  bgoldbtbndlem3  48821  upgrimwlklem5  48915