Theorem fzofzp1 13667

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13560	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12505	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13620	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3936	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13561	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13637	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13668  seqcaopr3  13944  seqcaopr2  13945  seqf1olem2a  13947  swrds1  14573  swrds2  14847  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  prodfn0  15801  prodfrec  15802  psgnunilem2  19374  gsumzaddlem  19800  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumge  25926  dvfsumabs  25927  dvntaylp  26277  taylthlem2  26280  taylthlem2OLD  26281  pntlemr  27511  pntlemj  27512  uspgr2wlkeq  29595  wlkres  29618  wlkp1lem6  29626  pthdadjvtx  29677  upgrwlkdvdelem  29685  crctcshwlkn0lem4  29762  crctcshwlkn0lem5  29763  wwlksnred  29841  trlsegvdeglem1  30168  chnlt  32964  cycpmco2f1  33075  cycpmco2rn  33076  cycpmco2lem2  33078  cycpmco2lem3  33079  cycpmco2lem4  33080  cycpmco2lem5  33081  cycpmco2lem6  33082  cycpmco2lem7  33083  cycpmco2  33084  pfxwlk  35117  poimirlem24  37644  poimirlem25  37645  poimirlem29  37649  poimirlem31  37651  monoords  45299  fmul01  45581  dvnmptdivc  45939  dvnmul  45944  stoweidlem3  46004  fourierdlem1  46109  fourierdlem12  46120  fourierdlem14  46122  fourierdlem15  46123  fourierdlem20  46128  fourierdlem25  46133  fourierdlem27  46135  fourierdlem41  46149  fourierdlem46  46153  fourierdlem48  46155  fourierdlem49  46156  fourierdlem50  46157  fourierdlem54  46161  fourierdlem63  46170  fourierdlem64  46171  fourierdlem65  46172  fourierdlem69  46176  fourierdlem70  46177  fourierdlem71  46178  fourierdlem72  46179  fourierdlem73  46180  fourierdlem74  46181  fourierdlem75  46182  fourierdlem76  46183  fourierdlem79  46186  fourierdlem80  46187  fourierdlem81  46188  fourierdlem84  46191  fourierdlem88  46195  fourierdlem89  46196  fourierdlem90  46197  fourierdlem91  46198  fourierdlem92  46199  fourierdlem93  46200  fourierdlem94  46201  fourierdlem97  46204  fourierdlem101  46208  fourierdlem102  46209  fourierdlem103  46210  fourierdlem104  46211  fourierdlem111  46218  fourierdlem113  46220  fourierdlem114  46221  fzopred  47326  iccpartipre  47425  iccelpart  47437  iccpartiun  47438  icceuelpartlem  47439  icceuelpart  47440  iccpartdisj  47441  iccpartnel  47442  bgoldbtbndlem2  47810  bgoldbtbndlem3  47811  upgrimwlklem5  47905