MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzomaxdiflem 15052
Description: Lemma for fzomaxdif 15053. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13386 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoelz 13386 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zsubcld 12430 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
65zred 12425 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
72zred 12425 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
84zred 12425 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8subge0d 11565 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
109biimpar 478 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
11 absid 15006 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
126, 10, 11syl2an2r 682 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
13 elfzoel1 13384 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514zred 12425 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
167, 15resubcld 11403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
17 elfzoel2 13385 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
1918, 14zsubcld 12430 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
2019zred 12425 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
21 elfzole1 13394 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶𝐴)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶𝐴)
2315, 8, 7, 22lesub2dd 11592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐶))
2418zred 12425 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elfzolt2 13395 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
277, 24, 15, 26ltsub1dd 11587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) < (𝐷𝐶))
286, 16, 20, 23, 27lelttrd 11133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
2928adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
30 0zd 12331 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
31 elfzo 13388 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
325, 30, 19, 31syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3332adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3410, 29, 33mpbir2and 710 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
3512, 34eqeltrd 2841 1 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205  cz 12319  ..^cfzo 13381  abscabs 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  15053
  Copyright terms: Public domain W3C validator