Theorem fzomaxdiflem 15285

Description: Lemma for fzomaxdif 15286. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzomaxdiflem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13596	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoelz 13596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zsubcld 12619	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zred 12614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	2	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	4	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	subge0d 11744	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
10	9	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
11		absid 15238	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2an2r 685	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
13		elfzoel1 13594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	7, 15	resubcld 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
17		elfzoel2 13595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
19	18, 14	zsubcld 12619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
20	19	zred 12614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐴)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
23	15, 8, 7, 22	lesub2dd 11771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐶))
24	18	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elfzolt2 13605	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
27	7, 24, 15, 26	ltsub1dd 11766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) < (𝐷 − 𝐶))
28	6, 16, 20, 23, 27	lelttrd 11308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
30		0zd 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
31		elfzo 13598	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
32	5, 30, 19, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
34	10, 29, 33	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
35	12, 34	eqeltrd 2828	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  fzomaxdif  15286