Theorem fzomaxdiflem 15393

Description: Lemma for fzomaxdif 15394. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzomaxdiflem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13686	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoelz 13686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zsubcld 12704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	zred 12699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	2	zred 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	4	zred 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	subge0d 11803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
10	9	biimpar 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
11		absid 15346	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2an2r 697	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
13		elfzoel1 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	zred 12699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	7, 15	resubcld 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
17		elfzoel2 13685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
19	18, 14	zsubcld 12704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ)
20	19	zred 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷 − 𝐶) ∈ ℝ)
21		elfzole1 13695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ≤ 𝐴)
22	21	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
23	15, 8, 7, 22	lesub2dd 11830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐶))
24	18	zred 12699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elfzolt2 13696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
26	25	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
27	7, 24, 15, 26	ltsub1dd 11825	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐶) < (𝐷 − 𝐶))
28	6, 16, 20, 23, 27	lelttrd 11367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
29	28	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))
30		0zd 12602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
31		elfzo 13688	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
32	5, 30, 19, 31	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
33	32	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵 − 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐴) < (𝐷 − 𝐶))))
34	10, 29, 33	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))
35	12, 34	eqeltrd 2861	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ (0..^(𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  abscabs 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286

This theorem is referenced by:  fzomaxdif  15394