Theorem o1resb 15522

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1resb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1res 15516	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2		rlimresb.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5		resmpt3 5998	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8		inss1 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9		rlimresb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10	8, 9	sstrid 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
11		elinel1 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12		ffvelcdm 7028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
13	2, 11, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	elo1mpt 15490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
15		elin 3906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
16	15	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
17		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
18	16, 17	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
19		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
20		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24		elicopnf 13392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
25	24	baibd 539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
26	21, 23, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
27	26	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
28		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29		maxle 13137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
30	21, 28, 23, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	27, 30	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
32	31	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
33	19, 32	bitr3id 285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
34	33	pm5.74da 804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
35	18, 34	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
36	35	ralbidv2 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
37	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42		elo12r 15484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43	42	3expia 1122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
44	37, 22, 40, 41, 43	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
45	36, 44	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
46	45	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
47	14, 46	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
48	7, 47	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
49	1, 48	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5627  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  +∞cpnf 11170   ≤ cle 11174  [,)cico 13294  abscabs 15190  𝑂(1)co1 15442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-o1 15446  df-lo1 15447

This theorem is referenced by:  chpo1ub  27460  dchrisum0lem2a  27497  pntrsumo1  27545