MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1resb 15507
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
rlimresb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
rlimresb.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1resb (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 15501 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2 rlimresb.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32feqmptd 6958 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
43reseq1d 5979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)))
5 resmpt3 6037 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
64, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
76eleq1d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
8 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† 𝐴
9 rlimresb.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
108, 9sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† ℝ)
11 elinel1 4195 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 ffvelcdm 7081 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
132, 11, 12syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1410, 13elo1mpt 15475 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
15 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)))
1615imbi1i 350 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
17 impexp 452 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧))))
1816, 17bitri 275 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧))))
19 impexp 452 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
229adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2322sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
24 elicopnf 13419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯)))
2524baibd 541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2621, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2726anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
28 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 13167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3127, 30bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯))
3231imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
3319, 32bitr3id 285 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
3433pm5.74da 803 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧))))
3518, 34bitrid 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧))))
3635ralbidv2 3174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)))
372adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
38 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4574 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ)
41 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
42 elo12r 15469 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43423expia 1122 . . . . . . 7 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4536, 44sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3212 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4714, 46sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
487, 47sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
491, 48impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  +∞cpnf 11242   ≀ cle 11246  [,)cico 13323  abscabs 15178  π‘‚(1)co1 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-o1 15431  df-lo1 15432
This theorem is referenced by:  chpo1ub  26973  dchrisum0lem2a  27010  pntrsumo1  27058
  Copyright terms: Public domain W3C validator