Theorem o1resb 15733

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1resb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1res 15727	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2		rlimresb.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5		resmpt3 6030	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
6	4, 5	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9		rlimresb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10	8, 9	sstrid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
11		elinel1 4147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12		ffvelcdm 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
13	2, 11, 12	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	elo1mpt 15701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
15		elin 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
16	15	imbi1i 352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
17		impexp 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
18	16, 17	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
19		impexp 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
20		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24		elicopnf 13576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
25	24	baibd 549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
26	21, 23, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
27	26	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
28		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29		maxle 13321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
30	21, 28, 23, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	27, 30	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
32	31	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
33	19, 32	bitr3id 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
34	33	pm5.74da 816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
35	18, 34	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
36	35	ralbidv2 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
37	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42		elo12r 15695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43	42	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
44	37, 22, 40, 41, 43	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
45	36, 44	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
46	45	rexlimdvva 3220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
47	14, 46	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
48	7, 47	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
49	1, 48	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  abscabs 15401  𝑂(1)co1 15653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-o1 15657  df-lo1 15658

This theorem is used by:  chpo1ub  27807  dchrisum0lem2a  27844  pntrsumo1  27892