Theorem o1resb 15127

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1resb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1res 15121	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2		rlimresb.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5		resmpt3 5906	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
6	4, 5	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
7	6	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8		inss1 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9		rlimresb.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10	8, 9	sstrid 3912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
11		elinel1 4109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12		ffvelrn 6902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
13	2, 11, 12	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
14	10, 13	elo1mpt 15095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
15		elin 3882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
16	15	imbi1i 353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
17		impexp 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
18	16, 17	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
19		impexp 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
20		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24		elicopnf 13033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
25	24	baibd 543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
26	21, 23, 25	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
27	26	anbi1d 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
28		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29		maxle 12781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
30	21, 28, 23, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	27, 30	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
32	31	imbi1d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
33	19, 32	bitr3id 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
34	33	pm5.74da 804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
35	18, 34	syl5bb 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧))))
36	35	ralbidv2 3116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)))
37	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42		elo12r 15089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43	42	3expia 1123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
44	37, 22, 40, 41, 43	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝐵 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
45	36, 44	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
46	45	rexlimdvva 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
47	14, 46	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
48	7, 47	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
49	1, 48	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   ↾ cres 5553  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864   ≤ cle 10868  [,)cico 12937  abscabs 14797  𝑂(1)co1 15047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-o1 15051  df-lo1 15052

This theorem is referenced by:  chpo1ub  26361  dchrisum0lem2a  26398  pntrsumo1  26446