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Theorem qtopcn 23217
Description: Universal property of a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcn (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))

Proof of Theorem qtopcn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6080 . . . . . . 7 (◑𝐺 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝐺
2 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)
31, 2fssdm 6737 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐺 β€œ π‘₯) βŠ† π‘Œ)
4 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
6 elqtop3 23206 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯)) ∈ 𝐽)))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯)) ∈ 𝐽)))
83, 7mpbirand 705 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯)) ∈ 𝐽))
9 cnvco 5885 . . . . . . . 8 β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝐺)
109imaeq1i 6056 . . . . . . 7 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝐺) β€œ π‘₯)
11 imaco 6250 . . . . . . 7 ((◑𝐹 ∘ ◑𝐺) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯))
1210, 11eqtri 2760 . . . . . 6 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯))
1312eleq1i 2824 . . . . 5 ((β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ (◑𝐹 β€œ (◑𝐺 β€œ π‘₯)) ∈ 𝐽)
148, 13bitr4di 288 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
1514ralbidva 3175 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽))
16 simprr 771 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)
1716biantrurd 533 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))))
18 fof 6805 . . . . . 6 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1918ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
20 fco 6741 . . . . 5 ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘)
2116, 19, 20syl2anc 584 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘)
2221biantrurd 533 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽 ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
2315, 17, 223bitr3d 308 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ ((𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
24 qtoptopon 23207 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
2524ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
26 simplr 767 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
27 iscn 22738 . . 3 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))))
2825, 26, 27syl2anc 584 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (◑𝐺 β€œ π‘₯) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))))
29 iscn 22738 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3029adantr 481 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐺 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
3123, 28, 303bitr4d 310 1 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘)) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   qTop cqtop 17448  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-qtop 17452  df-top 22395  df-topon 22412  df-cn 22730
This theorem is referenced by:  qtopeu  23219
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